二向量的数量积和运算律

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1、二向量的数量积和运算律、向量的应用知识要点：1．（1）平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量

2、a

3、

4、b

5、cosq叫ａ与ｂ的数量积，记作a×b，即有a×b=

6、a

7、

8、b

9、cosq；

10、b

11、cosq叫做向量b在a方向上的投影.（2）数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影

12、b

13、cosq的乘积.（3）（i）(ii)cosq=(iii)

14、a×b

15、≤

16、a

17、

18、b

19、（柯西不等式）（4）（i）则（ii）平面内点，则2．（1）定比分点：若点P１(x1，y1)，Ｐ２(x2，y2)，λ为实数，且＝λ，则点P的坐标为（），我们称λ为点P分所成的定比.（2）中点坐标公式：线段的中

20、点为，若点P１(x1，y1)，Ｐ２(x2，y2)，则中点的坐标为3．平面向量的平行与垂直（1）（2）.4．面积：平面上三点不共线，设（i）以为邻边构成的平行四边形的面积为：(ii)的面积为：题例1．若与都是非零向量，则“”是“”的_______条件。2．已知，当为何值时，与的夹角为3．关于平面向量．有下列三个命题：①若，则．②若，，则．③非零向量和满足，则与的夹角为．其中真命题的序号为　　　　．（写出所有真命题的序号）4．在平行四边形中，已知对角线。求对角线的长。5．设向量a，b，c满足a+b+c=0，（a-b）⊥c，a⊥b，若

21、a

22、=1，则

23、a

24、2+

25、b

26、2+

27、c

28、2的值是_______

29、.6．若等边的边长为，平面内一点满足，则_________7．设向量a,b满足︱a︱=3,︱b︱=4,=0.以a,b,a-b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（A）3（B）4（C）5（D）68.设A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若上的投影相同，则a与b满足的关系式为(A)(B)(C)(D)9.已知是不共线的四点，若存在一组正实数，使，则三个角（）A都是锐角B至多有两个钝角C恰有两个钝角D至少有两个钝角10．设向量（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，求证：∥.【解析】由与垂直，，即，；，最大值为32，所以的

30、最大值为。由得，即，所以∥.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m11．已知向量（Ⅰ）求向量的长度的最大值；（Ⅱ）设，且，求的值。解析：（1）解法1：则，即w.w.w.k.s.5.u.c.o.m当时，有所以向量的长度的最大值为2.解法2：，，当时，有，即，的长度的最大值为2.（2）解法1：由已知可得。，，即。由，得，即。,于是。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解法2：若，则，又由，得，，即，平方后化简得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解得或，经检验，即为所求