数学思维与方法论的逻辑

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1、万方数据科技信息高校理科研究数学思维与方法i仑硇逻辑西华师范大学数学系向进[摘要]数学思维与方法理论丰富，应用性很强，必须经过应用才能习得，如何在当代的数学教育教学中、生产生活中应用已成为时代课题。数学思维方法最新重大突破，主要在现代数学的新领域和研究层次中，特别是在数学向一些学科与社会部门渗透并获得应用，研究的对象越来越多，研究的问题越来越复杂。[关键词】数学思维方法理论应用发展数学思维与方法是数学知识体系中的核心，它由理性的知识和哲学知识组成。对于数学科学的工作者，最重要的就是数学的精神、思想和方法，其次才

2、是数学知识。素质教育语境下科学研究和教学改革的发展应将数学教育中的思维方法教研推向纵深。一、理论概览数学与思维的关系可以看作是数学方法论的一个组成部分。数学思维从属于一般的人类思维，是数学科学与思维科学有机统一的关于数学对象的理性认识过程。“数学思维是人脑和数学对象交互作用，并借助数学语言以抽象和概括为特点，对客观事物的数学结构和模型的间接概括的反映”[1】。数学思维的特质是抽象性、严谨性和统一性。思维对象是事物间的数量关系，往往需要经过多次抽象而形成一个可再认识的形式化的东西；形式转化则需要严谨的充分条件和推

3、理；最终需要将复杂的思维过程以简化和统一的程式反映数量关系的本质。数学思维的结构是由数学思维方式、数学思维基本成分和数学思维个体发展状况有机构成的立体结构。数学思维方式是随着主体认识发展而逐步丰富和提升的，基本的数学思维方式主要有集合对应思维、公理化结构化思维、空间思维、变量思维和程序分析思维；数学思维基本成分是思维过程状态中彰显的获得数学知识的手段和方法，包括数学中的形象思维、抽象逻辑思维、直觉思维和灵感思维；数学思维的个体发展状况以数学思维品质和非智力品质为标志，反映个体在年龄、心理认知等方面的差异。数学方

4、法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。学习和研究数学方法论的目的就是为了正确地认识数学、有效地运用数学和较好地发展数学。数学方法论可以从数学发展史中抽离出来，数学史中那些着重以数学发展规律为兴趣的属于宏观方法论；以数学内在因素与法则的探索为中心的属于微观方法论，后者的研究更为普遍。微观数学方法论中主要的方法有两种：一种是归纳和类比，～种是抽象分析法，数学中的许多定理都是利用这两种方法发现的，如欧拉乘积公式、二次互反律等，有时还能用来确立新的基本概念，导致数

5、学新学科或新分支的产生，如计算理论的发现。数学哲学的发展为数学思维和方法提供了坚实基础和有益启发。二十世纪第三次数学危机使很多数学家卷入了一场围绕数学基础问题的大讨论，逐渐形成了以罗素为代表的逻辑主义、以布劳威尔为代表的直觉主义和以希尔伯特为代表的形式公理主义三个学派。①逻辑主义的宗旨是把数学化归为逻辑。罗素认为整个纯粹数学所惟一涉及的知识，那些借助于很少的基本的逻辑概念可以定义的概念及纯粹数学中的所有命题都可以从很少的基本的逻辑原则中演绎出来。罗素以三部分内容证明“数学和逻辑是全等的”：“每条数学真理都能够表

6、示为完全用逻辑表达或表示的语言，简单地讲即每条数学真理都能够表示为真正的逻辑命题；每一条真的逻辑命题如果是一条数学真理的翻译，则它就是逻辑真理'每条数学真理，一旦表示为一个逻辑命题，就可以由少数逻辑公理规则推导出来”日。逻辑主义为把数学与逻辑结合的思维方法做出了贡献：简单类型论有助于对于悖论研究；把古典数学纳入统一的公理系统而创造了公理化方法；完成了传统逻辑向数理逻辑的过渡。②直觉主义主要代表人物是布劳威尔，主要观点有三，在其无穷观的问题上彻底采纳潜无限而排斥实无限；否定传统逻辑的普遍有效性而重建直觉主义逻辑规

7、则；批判古典数学，拆除一切非构造性数学的框架，重建直觉主义的构造数学。直觉主义的出发点是关于数学概念和方法的可信性考虑，方法论上的可信度成为直觉主义的惟一前提。主张数学中的概念和方法都必须是构造性的，只承认按照固定模式经有限不走能够定义的概念和能够实现的方法才是有效的。③形式公理主义代表人物是希尔伯特，认为就无穷观问题，古典数学中的那些包含着绝对无穷概念的命题的却是超越人们直观性证据之外的东西；既然肯定了实无限概念，也就承认了“超穷集合”的概念；验证形式公理化理论协调性所需要的模型不能取自感性世界或物理世界，提

8、出了命题证明法。基本主张是既希望保存古典按数学的基本概念和经典逻辑的推理原则，又认为可信度只存在于有限之中，而无限性概念不过是理性规定而已。目标是将全部数学都纳入形式公理化的系统中去。二、应用路径学习数学往往是在失望中开始。这门科学重要的适用性、数学概念在推理方面的引人人胜以及数学方法的逻辑严密性，所有这些都使人产生要迅速学会这些有趣方法的愿望。数学是--I'7应用性很强的学科，数学的