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1、关于数学物理方程的小结与提纲数学物理方法课关键是掌握基本的解题方法和基本技巧，这主要取决于平时对习题的认真完成和严格训练。李志强老师在“期末考试友情提示”中已经作了很好的总结和建议，希望同学们参考他的建议做好习题练习与复习工作。习题方面的问题可以直接与李老师进一步联系，在这几天他会提供尽可能好的指导与帮助。关于本学期的复习内容，以课堂上讲授的内容为基本范围。复习重点是吴崇试老师教材中不打星号的内容，但是在此之外在课堂上讲过的也应该有基本的理解和掌握。本学期讲授内容的小结和提纲我们列在后面供同学们参考，考试范围在此范围之内。考试题目的题型
2、会尽可能参考上一学期的试卷。多数题目的难度比作业题中为易。请同学们不必紧张，精神放松。祝各位同学取得好成绩。考试时间：2010年1月13日下午2：00-4:00考试地点：二教301请大家准时参加。第一讲数学物理方程与定解条件完整地处理一个数学物理方程问题，包括三个步骤’：1）建模：把物理问题化为数学上的定解问题；2）解定解问题；3）对解做物理解释。1波动问题(thewaveequation)描述一个弹性均匀细杆作纵向小振动的运动方程：∂∂22⎛⎞uu2EFxt(,)−=af,⎜⎟af==,∂∂tx22⎜⎟ρρS⎝⎠波动方程的3－D形式：
3、2∂22∂∂2∂u22where2。−∇=au0∇≡++2222∂t∂x∂∂yzExample1VibratingString弦的横振动方程：22∂∂uu2Fxt(,)T−=af()x,,tf()x,=t,a=22∂∂txρρExample2传输线方程（电报方程）22∂∂jj221−==aa0,，其中j=jxt(,)为交变电流22∂∂txLC22∂∂vv−a2=0其中vvxt=(,)为交变电压22∂∂txExample3电磁波方程利用电磁场的MaxwellEqs.的微分形式，可导出真空中的电磁波方程：h∂2Eh12222−∇=aE0,a
4、==C2∂tμε00andh∂2Hh22−aH∇=0。2∂t2输运问题(theheatequation)在研究热传导现象时，我们想知道:温度在空间的分布和随时间的变化kFuxyzt(,,,)=?若介质均匀，＝kconst,引入κ==,fccρρ∂u2−∇=κuf非齐次热传导方程∂t∂u2若无热源，f=0，有−κ∇=u0齐次热传导方程∂t3稳定场ThePotentialEquation3.1静电场方程2静电场中，介质的介电常数ε，电荷分布ρf(x,,yz)，有ρ2f0∇+=uPoisson’sEquationε在无电荷分布区，ρf=0,有
5、20∇=uLaplace’sEquation这是稳定场中常见的两个方程。3.2稳恒电流场同样有方程2∇=u0Laplace’sEquationExample.Time-DependentSchrodingerEquation2∂ψZ2iVZ=−∇ψ+()x,,yzψ.∂t2μ4.定解问题4.1方程小结数理方程分二阶线性偏微泛定方程时间关系类分方程分类2波动方程双曲型方程∂u−∇=aufrt22()h,可逆，需要两初2∂t值条件齐次方程当f=0热传导方程抛物型方程∂u−∇=κ2uf()rth,不可逆，一个初∂t（输运方程）值条件2稳定场方
6、程椭圆型方程∇u=0Laplace’sEq.时间无关，∇=−2uf(rh)Poisson’sEq.不需初值条件2∇uu+=λ0Helmholtz’sEq.4.2微分方程的定解条件（1）初始条件Initialconditions3ux=ϕ()系统上各点的初位移t=0∂u=ψ()x系统上各点的初速度∂xt=0（2）边界条件Boundaryconditions⎡⎤∂u∂uαβu+=0，where为u的法向导数；Σ为边界点的坐标⎢⎥⎣⎦∂n∂nΣifβα=0,u=0第一类orDirichlet边界条件；Σif∂uαβ=0,=0第二类orNeum
7、ann边界条件；∂nΣifα≠≠0,β0第三类orRobin边界条件。（3）衔接条件与其它自然边条件用两根不同介质的杆连成一根杆，考虑这根杆的纵向振动，在连接处位移相等，在接点处有条件∂∂uuuu12xxx=，EE12===00x12∂∂xxx=xx00=xwhereuuxtuuxt11==(),,,22()分别代表两种不同介质杆的位移，EE1和2分别代表两根杆各自的杨氏模量。有限性条件ExampleVII:静电场中，在坐标原点的电势有限（当原点无电荷时）。周期性条件物理量在同一空间点和同一时刻应有确定值，在采用球坐标系（或标坐标系）时
8、，就必然导致周期性条件。显然ur(,,θϕπ+=2)ur(,,θϕ)无穷远条件：如limu=0，limu有界，或者u在r大时有渐近行为f(rt,)r→∞r→∞辐射条件(热传导问题中)：∂u44uuu,−=C
