数学物理方程_复习

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1、题型一、根据物理过程写出相应的定解问题。习题一、1,2,例1、长動I的弦左端开始时自由，以后受到强度为Asinm的力的作用,右端系在弹性系数为k的弹性支承上面；初始位移为汎兀），初始速度为刃兀）.试写出相应的定解问题。解这是弦的自由振动，其位移函数«（%,/）满足其中a2=-.由于左端开始时自由，以后受到强度为Asinm的力的作用，所以Pwv(0,0)=0,Tu(0,t)+Asincot=0.t>0,因此Asincot,r>0.又右端系在弹性系数为R的弹性支承上面，所以—Ti.Q—ku(l,t)=0,即丁叭(1,{

2、)+ku(l,t)=0而初始条件为U匸0=0（兀），均匸0=以x）.因此，相应的定解问题为un=auxx.00,0U20=0(兀)，乞/=o=0(兀)•例2、一长为I的均匀细杆，侧面绝热，一端放入0“C水中，另一端裹以石棉，杆的初始温度为0（兀），试写出杆的温度分布函数所满足的定解问题。题型二.求特征值问题。例3、求下列特征值问题的特征值和特征函数.X(兀)+2X(x)=0,X(O)=X(/)=O(2)X"(x)+2X(x)=0,X,(0

3、)=X(l)=0fX'(x)+AX(x)=O,[x(O)=X1(l)=O(4)X"(x)+/LX(x)=0,X,(0)=X,(/)=0(4)J①“(&)+2①⑹=0,

4、①⑹=①(&+2帀)题型三、用分离变量法求齐次方程齐次边界条件的定解问题。第二章第一节、例2；第二节；第三节习题二、1,2,3,4,5,6,7习题二、13,17习题二、18例4、写出求解u+uxxyyA=0=0,0

5、体数据)。解令u(x,y)=X(x)Y(y)9代入方程(1)中，得(5)厂(y)-战(刃=0,X”(x)+2X(x)=0由条件(2),得X(0)=X(l)=0(6)求解固有值问题(5)(6),得固有值与固有函数分别为九k=(k兀丫,Xk(x)=Bksinknxyk=1,2,••-将入代入方程(4),得"(y)—从而得于是得满足齐次方程(1)与齐次边界条件(2)的一组特解uk(x,y)=(Ckekny+Dke~k7ry)sink7ix.由于方程(1)与条件(2)都是齐次的，因此8w(x,y)=+Dke~kry)sin

6、k/rx仍满足（1）与（2）,由条件（3）,工C+Dk)sinkjtx=x(x-1),“100工(C0”+D«%)sinkTTx=0于是Ck+Dk=yx(x一1)sink兀xdx,C”"+Dke~kfr=0.题型四.特征函数法。第二章第四节习题二.8,9,22题型五、分离变量法中非齐次边界条件的处理。习题二、8,9,10,11,15例5、求下列定解问题的解:§2.5例12.27TX27TXult=a~%+s】ncos—*o=3,u日=6,X=0=3(1+7),ut•47TXi=Q=sin--例6、求下列定解问题的解

7、:7..27TX血mg+4sin^COS/B,*o=O，"B20=7X，Ut/=0=x(l-X)题型六、利用波动方程的通解解题。例7、求解波动方程的Goursat（古沙）问题uff=auux-at=Ox+af=O2“=0(兀),=屮g其中0(0)=p(0),0与肖是充分光滑的函数。例8、证明方程2dudxddx17er(、21%dht(力为大于零的常数)的通解为u=—!—[F(x-at)+G(x+at)],h-x其中F,G是二次连续可微的任意函数。题型七积分变换法第73页例1・第75页例2・例矢用积分变换法求解问题

8、ut=a2uYY—huy0』〉0,XTZT0,其中血是正常数，方是常数。丄八心no；L[i]=-.pp2：若L[f(t)]=F(p则厶ert7(O=F(p-a)解在方程两边关于f作Laplace变换，且记川心,/)]=卩(圮卩)，则Cl2":::一(卩+h)u(兀,p)=-b.解之得一夙应，hU(x,p)=CteQ+C2ea+p+h在边界条件两边关于t作Laplace变换，则〃(x，〃)Lo=O,hmUx=0.V—>00由limt/v=0,得C—0,又由U(x,p)=0,WC.=-一,

9、所以i心p+h心）二（i-店S・p+h对上式两边取逆变换，得bh-W叭rw(x,r)=r1

10、

11、-r'[e°=be^h,-be'h,erfc(—^)P+hp+h2ay]t例10、用积分变换法求解问题uf=a2uxx,x>0,/>0,v11Slim(”_x)=0,x=Ux->co题型八求非齐次方程初值问题的解习题三、2.求下列初值问题的解utf=uxx-rsi