数学物理方程复习

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1、数学物理方程复习一．三类方程及定解问题（一）方程1.波动方程（双曲型）Utt=a2Uxx+f;00U(0,t)=Φ1（t）;U(l,t)=Φ2（t）;U(x,0)=Ψ1（x）;Ut(x,0)=Ψ2（x）。2.热传导方程（抛物型）Ut=a2Uxx+f;00U(0,t)=Φ1（t）;U(l,t)=Φ2（t）;U(x,0)=Ψ1（x）.3.稳态方程（椭圆型）Uxx+Uyy=f;00.U(0,x)=Φ1（x）;U(b,x)=Φ2（x）;U(y,0)=Ψ1（y）

2、;Ut(y,a)=Ψ2（y）。（一）解题的步骤1.建立数学模型，写出方程及定解条件2.解方程3.解的实定性问题（检验）（二）写方程的定解条件1.微元法：物理定理2.定解条件：初始条件及边界条件（三）解方程的方法1.分离变量法（有界区域内）2.行波法（针对波动方程，无界区域内）3.积分变换法（Fourier变换Laplace变换）Fourier变换:针对整个空间奇：正弦变换偶：余弦变换Laplace变换：针对半空间4.Green函数及基本解法5.Bessel函数及Legendre函数法例一：在弦的横震动问题

3、中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为bUt（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-bUt(x+n△x））(0

4、+n△x)△x在小的振动下SINa1≈TANa1=Ux(x,t),SINa2≈TANa2=Ux(x+△x,t),COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)即(T/ρ)[Ux(x+△x,t)-Ux(x,t)]/△x-(b/ρ)Ut(x+n△x，t)即令△xà0时有：Utt+aUt=a2Uxx例二：设扩散物质的源强（即单位时间内单位体积所产生的扩散物质）为F（x,y,z,t），试导出扩散方程。解：设U（x,y,z,t）为粒子的浓度（单位体积内的粒子数），在空间内画出一个立方体，体积△V=△X△Y

5、△Z,考虑在△t内△V内的粒子流动情况。由扩散定律知：流入X方向的流粒子数为：[qx(x,t)-qx(x+△x,t)]△t△y△z,流入Y方向的流粒子数为:[qY(y,t)-qY(y+△y,t)]△t△x△z,流入Z方向的流粒子数为:[qz(z,t)-qz(z+△z,t)]△t△x△y.而源强产生的粒子数为：F（x,y,z,t）△t△x△y△z.由质量守恒定律为：[qx(x,t)-qx(x+△x,t)]△t△y△z+[qY(y,t)-qY(y+△y,t)]△t△x△z+[qz(z,t)-qz(z+△z,t

6、)]△t△x△y+F(x,y,z,t）△t△x△y△z=[U（x,y,z,t+△t）-U（x,y,z,t）]△t△x△y△z.令△t△x△y△zà0时有：（＠是求偏导）-＠qx/＠x-＠qy/＠y-＠qz/＠z+F（x,y,z,t）=Ut由自由扩展定律得：＠(D＠u/＠x）/＠x+＠（D＠u/＠y）/＠y+＠（D＠u/＠z）/＠z+F=Ut若扩散粒子是均匀的：Ut=a2△U.二．线性偏微分方程（一）二阶线性偏微分方程LU=a11Uxx+2a12Uxy+a22Uyy+b1Ux+b2Uy+c+f1.主要部分：

7、a11Uxx+2a12Uxy+a22Uyy2.判别式△=a212-a11a22△>0双曲线方程△=0抛物型方程△<0椭圆方程3.特征方程a11（-dy/dx）2-2a12（-dy/dx）+a22=0特征根：dy/dx=（a12±△1/2）/a11特征曲线：y=[（a12+△1/2）/a11]x+C1y=[（a12-△1/2）/a11]x+C2新旧变量关系：ζ=y+λ1x，η=y+λ2x令Q=省略例一：把方程x2Uxx+2xyUxy-3y2Uyy-2xUx+4yUy+16x4U=0改成标准形式，并判断类型。

8、例二：x2Uxx+2xyUxy+y2Uyy=0例三：化简2aUxx+2aUxy+aUyy+2bUx+2cUy+U=0,并判断类型。a≠0（二）线性偏微分方程的基本性质1.线性迭加原理设L为线性偏微分算子，即LU=f若u1u2u3……un是LU=fi的解，则u=∑CiUi是LU=∑Cifi的解。若u1是LU=0的通解，u2是LU=f的特解，则u=u1+u2是LU=f的一般解。2.齐次化原理（冲量原理）原理1：设W是方程Wtt=a