柔性机械臂模型非约束模态降维绝对误差准则

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1、22中国空间科学技术2012年4月g生l里竺!竺墨旦垒!竺璺竺i竺里竺竺兰里堕!呈!堕里旦!旦曼z笙!塑柔性机械臂模型非约束模态降维绝对误差准则齐乃明1赵宝山1赵志刚1王利平2(1哈尔滨工业大学航天学院，哈尔滨150001)(2天津航天机电设备研究所，天津300300)摘要描述柔性结构振动的非约束模态展开方法仅考虑结构参数而不考虑外部作用力，当外部驱动力频率与非约束模态的某几阶频率相等或者相近时，这样的处理将影响动力学响应的近似精度。针对此问题，且考虑到任意驱动力都可以用傅里叶分析的方法将其等效为

2、无穷多个正弦力的叠加，提出了一种正弦力作用下基于非约束模态降维的绝对误差准则。采用有限元法描述柔·}生机械臂的弹性变形，应用拉格朗日法建立其动力学方程，并用非约束模态降维模型与其作对比，仿真验证了所提出的非约束模态选取准则的正确性。关键词动力学降维有限元法绝对误差非约束模态柔性机械臂DOI：10．3780／j．issn．i000—758X．2012．02．0041引言随着空问技术领域的迅速发展，对结构提出更高的要求，而柔性结构具有满足空间机构需求的显著特点。柔性机械臂作为典型的柔性系统，其振动模态

3、是无穷维的，对其进行控制不可能考虑所有的振动模态。实际工程中一般根据任务的要求，只考虑对系统影响较大的若干阶模态，所以必须进行模态截断。而模态截断这一过程如果处理不当会导致观测溢出和控制溢出。柔性结构振动模态展开有两种方法：1)约束模态或部件模态；2)非约束模态或系统模态。前者在计算模态时柔性部件与航天器的连接点受约束不动；后者模态展开是直接使用整个航天器自由状态下的自然模态[1]。由于非约束模态(UnconstrainedMode)定义为“系统在不存在外扰动情况下获得的无阻尼自由运动解”。在这种

4、情况下，整个结构(挠性体、刚体)都允许振动，并且解与刚体和挠性体的惯量特性都有关口。5]。柔性结构振动模态展开对于控制器的应用有着重要的影响，文献[6—7]应用非约束模态级数法建立了姿态运动和挠性结构振动解耦的方程来为控制器设计提供便利，但是未考虑到驱动力对动力学降维精度的影响问题。本文针对上述问题，以柔性机械臂为研究对象。采用有限元法描述其弹性变形，应用拉格朗日法建立动力学方程，提出一种基于非约束模态降维的绝对误差准则。2柔性机械臂动力学2．1柔性机械臂描述柔性机械臂的简化模型如图1所示，由刚性

5、电机转子及连接法兰A、柔性薄壁杆B及末端刚性国家自然科学基金(61171189)，航天科技创新基金(CASC200902—81)资助项目收稿日期：20120119。收修改稿日期：2012—02—07垫!!至!旦±垦窒回塾兰蒸查垫负载C组成。其中，O。X。Y。z。、O。X。Y。z。分别为A、B体固连坐标系，二者平行；p。表示n点至A体任意质量微元dm的矢径；r—e．7[^0o]1表示n点至ob点的矢径，其中％’表示A体固连坐标系的基矢，pb表示O。点至B体任意质量微元dm的矢径；de表示B体任意质量

6、微元dm的振动位移；n=e。7[ft0o]7表示O。点至B体末端几何中心的矢径；6，表示B体末端振动位移；a=“’[O自o]’表示A体角速度。图1柔性机械臂Fig1FLexibhmanipuhtor对系统作如下假设：1)系统在水平面内转动，忽略重力、空气阻力及结构阻尼影响；2)臂杆长度远大于其截面尺寸，只考虑其O。X。z。面内的弯曲振动，忽略关节柔性；3)忽略末端负载转动惯量影响，将C体简化为质点；4)白、占。、占。均视为一阶小量，忽略速度项中二者的向量积。2．2动力学建模A、B体内任意质量微元d

7、优的速度v。、yb及C体速度v。v。一台×几}vb一白×(r+pb)+6b；v。=台×(，+r。)+氐(1)系统拉格朗日函数L为L一号』．K·ndm+丢I。n·hdm+ilm。K·V。÷f。sj·“dV(2)式中eb、“分别表示B体的应变、应力矢量；m。表示C体质量；dl／"表示体积微元。将式(1)代人式(2)并应用拉格朗13方程，可得由广义自由度0和d表征的动力学方程瞄习囱+I习圈一冈c。，式中J为系统绕O。y。轴的转动惯量；M为柔性体质量阵；K为柔性体刚度阵；1为刚柔耦合矩阵；d为B体节点位移

8、列阵；T为驱动力矩。前四者的表达式为J=∑J；；M一∑(只7M。E)+?Tt。PTP，；K=∑(碍7K。Pe)；仁一n乱卜+与必忆●N'dx,P；--m,(G+lb)B㈤式中J二(*一a，b，c)分别为A、B和C体绕n轴的转动惯量；n为B体有限单元体个数；只为B体第i个单元体的联系矩阵；M。为B体单元质量阵；P。为C体联系矩阵；袷为B体单元刚度阵；阻为B体线密度；e。为B体第i个单元体}Nt为B体单元型函数。中国空间科学技术2012年4月3非约束模态动力学令驱动力矩T一0，求得系统