薄壁结构固有频率的p型有限元数值计算收敛性研究

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1、第40卷第2期航空计算技术V01．40No．22010年3月AeronauticalComputingTechniqueMar．2010薄壁结构固有频率的P型有限元数值计算收敛性研究柯栗，孙秦(西北工业大学航空学院，陕西西安710072)摘要：通过使用MSC．Patrart／Nastran中的P型有限元评价多种典型薄壁结构构件动力学品质分析中的特征值计算收敛问题，并对高阶形函数的作用进行了深入分析，从而说明高阶P型体元在薄壁结构建模中的优越性。关键词：p型有限元；薄壁结构；固有频率；收敛性中图分类号：0242．21文献标识码：A文章编号：1671-654X(2010

2、)02．0065．04引言对于复杂结构问题，为了尽可能减少前处理工作量，避免繁琐的数据准备，但又能控制有限元求解的离散精度，这就需要发展有限元法自适应技术。P型有限元是自适应单元，对网格剖分的前处理少，升阶过程中既不用重新剖分单元网格，又具有传承性，容易实现自适应过程，适合于大型结构的数值分析问题。升阶谱有限元的概念最早由Zienkiewicz1970年提出，后又作了进一步的阐述¨J，是实施P收敛过程的一种有效的方法。Babuska等人则从数学上证明了P收敛性优于h收敛性【21。最近十多年，许多学者对P型有限元的理论及应用进行了研究呤’4J。一些典型结构静、动、断裂

3、问题的数值研究表明，P型有限元在一定范围内表现了突出的优点。近年来，许多商业有限元软件包提供了P型有限元的技术应用。本文通过使用MSC．Patran／Nastran中的P型有限元评价了多种典型薄壁结构构件动力学品质分析中的特征值计算收敛问题，并对高阶形函数的作用进行了深入分析，从而说明高阶P型体元在薄壁结构建模中的优越性。1P型有限元法在结构固有频率数值计算中的应用由常规结构离散化及达朗倍变分原理可获得结构系统的自由振动方程为：肘否+K8=0(1)其中膨为结构系统的质量矩阵，K为结构系统的刚度矩阵。设结构各点的自由振动为简谐运动：5=4,0coscot(2)将式(2

4、)代人式(1)，写成方程组得：(K一∞2M)4,0=0(3)当det(K一∞2M)≠o，唯一可能的解为咖=0，它代表没有运动的情况；当det(K一∞2M)=0，此时可解出一系列离散的特征值埘i，即为系统的第i阶固有频率。基于升阶谱单元的P型有限元特点的形成，关键在于其形函数的特殊形式∞J。普通拉格朗日型单元及上述升阶谱单元的刚度矩阵均为满秩矩阵。若采用勒让德正交多项式序列作为应变的升阶谱函数，则可以缩小单元刚度矩阵的带宽。升阶谱单元的容许位移函数为：I4∑叶％+∑w。』=1i=＆+l(4)式中，“i为标准拉格朗日型单元的节点位移；Ⅳj为单元标准形函数；配i为广义位移

5、参数，不代表某具体点处的位移；妒i为高阶形函数，下面将给出其表达式。取Pi为区问(一1，1)上的第k阶勒让德正交多项式，其表达式为：舻茄(f-1)i，瑚’1'⋯(5)对于co类勒让德型升阶谱形函数，妒f_fPi-2蟛，可得妒；的统一显表达式为：舻‘警错罟劳脊删～”2收稿日期：2009—09．30修订日期：2。l。．01．1l(6)作者简介：柯粟(1985一)，女，湖北武汉人，硕士研究生，研究方向为薄壁结构力学行为的P型有限元数值计算技术。·66·航空计算技术第40卷第2期同理，将式(6)再积分一次，又可导出C1类勒让德型升阶谱形函数的统一显表达式：舻“爹掣等务警叫～

6、D4(7)可见9i为函数本身及导数在单元端点及边界上均为0的多项式，因此它并不影响单元之间的协调关系。下面推导Co和C1类勒让德型升阶谱元的单元刚度矩阵半带宽。注意到勒让德正交多项式序列满足如下的正交和规范化条件：，lf0，k≠_『脾弘i熹肛，@’在单元刚度矩阵中需要计算的积分项为：k#一∑C，f．如一,Pj一。鸳(9)在上式中，对于co类单元，s=1；而对于C1类单元，s=2。利用式(8)可得仅当k=_『一s即i+r=J时积分式不为o，亦即屯，磅+。√，⋯，t州不等于0，故半带宽为l+r。类似有Co类和c1类单元的单元质量矩阵半带宽分别为3+r和5+r。上面的结论

7、充分显示了升阶谱元的优点：其单元矩阵可在常应变元单元矩阵基础上，随阶次升高逐步扩充行和列得到；且单元矩阵高度稀疏，可以有效的提5言士"KS罢詈5≥2凶高计算效率。2数值算例本文针对有无加筋矩形板、圆柱壳型结构的固有频率问题，进行了P型有限元分析计算。算例中，材料的力学性能均为：杨氏模量E=7．06e+10Pa，剪切模量G=2．654e+10Pa，泊松比影=0．33，密度p=2．7e+3kg／m3。各算例均采用以下四种方式建模：1)4节点h型壳元(CQUAD4)(筋条为2节点h型梁元(CBEAM2))；2)4节点P型壳元(筋条为2节点P型梁元)；3)8节点h型体元