探究不动点的奥秘

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1、探究不动点的奥秘%1.不动点引入在研学课的课堂上老师向我们简单的介绍了在数学函数中的不动点的性质，是指“被这个函数映射到其自身一个点”。老师举了一个简单的例子：取一个浅盒和一张纸，纸恰好盖住盒内的底面。可想而知此时纸上的每个点与正在它下面的盒底上的那些点配成对。把这张纸拿起來，随机地揉成一个小球，再把小球扔进盒里。拓扑学家己经证明，不管小球是怎样揉成的，也不管它落在盒底的什么地方，在揉成小球的纸上至少有一个这样的点，它恰好处在它盒底原来配对点的正上方。通过具体找到这个点，就能说明这个问题了。纸被揉成球以后，看它投到纸盒底部的影子。纸盒底

2、部的影子区域肯定比纸盒底要小。那么，就取【纸盒底部的在影子内的那个部分】，它肯定对应于纸团里面的某一小团部分。(I大I为整个底板对应于整个纸团，那么底板的一部分就肯定对应于一部分纸团)假如去掉纸团的其他部分，那一小团部分同样可以在纸盒底面投影，而且投影肯定比刚才的大投影小，而且在它之内。(因为它是在整个纸团之内)。那么,取这一小片投影(注意这片影子肯定是连续的不会断开，因为纸没有撕裂)，当它再往纸团里对应的时候，肯定对应于其中更小的一团。我们再次把多余的纸去掉。就是说：整个纸盒对应于纸团纸盒【在纸团投影内的部分】对应于纸团内的一小块纸盒

3、【一小块的投影的部分】对应于刚才那一小块内的更小一块纸盒【更小块投影的部分】对应于更小块中的更更小一块不断地去掉纸无限次，最后纸团只剩下了一个点，它的投影就对应于纸盒的一个点。这是生活中不动点的例子。老师接下來又举了个函数的例子：定义在实数上的函数f,f(x)=xA2・3x+4,则2是函数f的一个不动点，因为f(2)=2o也不是每一个函数都具有不动点。例如f(x)=x+1就没有不动点。I大I为对于任意的实数，x永远不会等于x+仁用图像的话来说，不动点意味着点(x,f(x))在直线y=x±,或者换句话说，函数f(x)的图像与那根直线有共点

4、。这个例子的情况是，这个函数的图像与那根直线是一对平行线。卜面老师讲了不动点在函数迭代中的应用。迭代时只有函数单调才有不动点，并讲了一些例题。%1.不动点定理如果f是n+1维实心球Bn+l={xeRn+l

5、x

6、^l}到自身的连续映射(n“,2,3…),则f存在一个不动点x^Bn+l(即满足f(xO)=x0)o此定理是L.E.J.布劳威尔在1911年证明的。不动点问题实际上就是各种各样的方程(如代数方程、微分方程、积分方程等)的求解问题，在数学上非常重要，也有很多的实际应用。不动点定理・定理启示建立布劳威尔不动点定理是他的突出贡献.这个定

7、理表明：在二维球面上，任意映到自身的一一连续映射，必定至少冇一个点是不变的•他把这一定理推广到高维球面.尤其是，在n维球内映到自身的任意连续映射至少有一个不动点.在定理证明的过程屮，他引进了从一个复形到另一个复形的映射类，以及一个映射的映射度等概念.冇了这些概念，他就能第一次处理一个流形上的向量场的奇点.康托尔揭示了不同的n与空间Rn的对应关系.G.皮亚诺(Peano)则实现了把单位线段连续映入正方形.这两个发现启示了，在拓扑映射中，维数可能是不变的.1910年,布劳威尔对于任意的n证明了这个猜想一一维数的拓扑不变性•在证明过程屮，布劳

8、威尔创造了连续拓扑映射的单纯逼近的概念，也就是一系列线性映射的逼近.他还创造了映射的拓扑度的概念一一一个取决于拓扑映射连续变换的同伦类的数.实践证明，这些概念在解决重耍的不变性问题时非常有用•例如，布劳威尔就借助它界定了n维区域;J.W.亚历山大(Alexander)则用它证明了贝蒂数的不变性.这些都是不动点定理的一种延伸。不动点定理・等价形式不动点理论已经成为非线性分析的重要组成部分，该问题的研究已经在偏微分方程、控制论、经济平衡理论及对策理论等领域获得了极为成功的应用。本文首先整合了以往文献关于不动点定理的一些等价形式，然后在H•空

9、间中建立了新型的不动点定理、截口定理及应用。全文共分为三章：第一章，简要介绍木文将要用到的凸分析，拓扑空间和集值映射中相关的概念和性质。第二章，整合了不动点定理的一些等价形式。首先，简单介绍了Brouwer不动点定理的几个重耍的推广形式，然后通过一系列证明得出不动点定理的若干等价形式：Brouwer不动点定理KKM定理FKKM定理KyFan极大极小不等式Browder不动点定理KyFan不等式IKyFan极大极小不等式的几何形式KyFan截口定理Fan-Browder不动点定理KyFan不等式II。第三章，首先，介绍了H■空间中一些重要

10、的概念。其次,在H•空间中建立了新的Fan-Browder型不动点定理及其几种等价形式。不动点定理・历史布劳威尔不动点定理是代数拓扑的早期成就，还是更多更一般的不动点定理的基础，在泛函分析屮尤其重要。在19