数模引言线性非线性

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1、数学建模河海大学理学院丁根宏引言本章主要讨论建立数学模型的意义、方法和步骤，给读者以建立数学模型初步的了解。一、从现实对象到数学模型原型和模型原型（Prototype）指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。模型（Model）指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提练而构造的原型替代物。注意：为了某种目的构造模型，模型不是原型原封不动的复制品，原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。模型的分类直观模型（如实物、玩具、照片）物质模型（形象模型）物理模型（为了

2、模拟实验）模型思维模型（经验形式）理想模型（抽象模型）符号模型（如地图、电路图、分子式）数学模型（由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式，图形或算法）模型的定义所谓数学模型是指对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。建立数学模型的过程数学模型是运用数学的语言和工具，对部分现实世界的信息（现象、数据…）加以翻译、归纳的产物，它源于现实，又高于现实。数学模型经过演绎、推断，给出数学上的分析、预报、决策或控制，再经

3、过解释，回到现实世界，最后，这些分析、预报、决策或控制必须接受实际的检验，完成实践——理论——实践这一循环，如果检验的结果是正确的或基本正确的，就可以用来指导实际，否则，要重新考虑翻译，归纳的过程，修改数学模型。数学建模流程图现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答（分析、预报、决策或控制）表达（归纳）解释验证求解（演绎）二、国外数学建模情况（国外从70年代初）1、教学课程、教材1978年由Springer出版，国防科大翻译《ModelinginAppliedMathematics》共4卷EllisHarw

4、ood《MathanditsApplication》Kapor《MathematicalModeling》数学国际会议，1983年起，会议录由Harwood出版竞赛国外数学建模情况2、科研会议1977数学和计算机建模国际会议期刊《MathematicalandcomputerModeling》年刊《AppliedMathematicalModeling》SIAMReview、SIAMNews《J.ofMathematicalModelingforTeacher》三、国内数学建模发展的情况国内从1983起，先驱有肖树铁、

5、叶其孝、姜启源等我国从1991年在上海等地区开展数学建模竞赛的工作，1992年起由中国工业与应用数学学会主办全国大学生数学建模竞赛，从1994年起由政府国家教委（现为教育部）下达文件在全国高校中开展数学建模竞赛。我校数学建模发展的情况我校从1993年起已连续十八年参加了全国大学生数学建模竞赛，并取得了较好的成绩。四、数学建模发展迅速的主要原因1、花费少、设备少、周期短2、许多问题的解决只有建模是唯一途径（如太阳表面温度、人体血液总量等）数学建模发展迅速的主要原因3、以前发展慢的原因、计算工具（如计算机速度慢、编程的复杂

6、、不能解决符号的运算、图形学的问题），而今高速、小型、智能、廉价计算机的出现使数模发展迅速，注意数学建模的美国五大工业：汽车、计算机、石油、飞机工业、机器制造五、建立数学模型的方法和步骤1、方法上大体分为两大类机理分析：是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映机理的规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可测量系统的输入（出）数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨

7、识（SystemIdentification）。建立数学模型的方法和步骤2、建立模型的大体过程模型准备：了解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握对象的各种信息和统计数据等，弄清实际对象的特征，由此初步确定用哪一类模型。模型假设：根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的合理的简化，并用精确的语言做出假设，这是关键的一步。建立数学模型的方法和步骤模型构成：根据所作假设，利用适当的数学工具，构造各个量之间的关系或其它数学结构，这里除需要上些相关学科的专门知识外，还需要较广阔的应用数学方面的知识。模型求解模型分析模型检验模

8、型应用建立模型过程模型准备模型假设模型应用模型建立模型求解模型分析模型检验六、建模示例例1：椅子能在不平的地面上放稳吗？现实生活中，把椅子往不平的地面上一放通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。模型假设：1、椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形。2、地面高度是