运用构造解题法

《运用构造解题法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

运用构造法解题山西太原幼师陆志昌怎样解题？各有各的说法.笔者在拙著《初中数学解题思维窍门》一书中.介绍了几种窍门.本文拟摘要介绍其中一种构造法•愿借《数学教学研究》的广泛影响就教于同行.所谓构造法就是在寻求解题途径难以进展时•巧妙地构造出新的式子或图形等•往往可取得出奇制胜的效果.其常见类型有以下几种.一、构造数例1试证在0与1之间有无穷个有理数.证明假设在0与1之间的有理数仅有n个：aP過、…、％根据有理数与有理数之积仍为有理数、便可构造一个与坷、a2.…、如都不相同的有理数p=a】•a2-an.由于a】、a?、…、an都大于0且小于1.显然OVpVl.这说明在0与1之间至少有n+1个有血数•此与仅有n个有理数的假设相矛盾.故在0与1Z间有无穷个有理数.此例解法浅显简易•可谓匠心独运.别岀心裁！二、构造等式例2己矢QaVl-b2+b71-a2=1.(1)求证a2+b2=1.这是一道脍炙人口的名题.其证法有多种.司空见惯的方法有：平方法、三角法、几何法等.但若另辟蹊径，巧用构造法.又可别开生面.另有一番情趣.证明构造等式aVl-b2-bVl_a2=m(2)(1)X(2)整理得m=a2-b2・・■-ajl-b2Jl・/=小屮(3)(1)+〔3)整理得(「VT夢)2=0.a=71-b2,即J+b2=1.三、构造不等式例3实数a、b>c、d满足a+b+c+d=5,a2+b2+c2+d2=7,求a的范围.解第一个等式的平方与第二个等式的差异，注意题断所求a可先排除a,最后回归a,据此构造不等式：(b-c)24-(b-d)2+(c-d)—0,左边=2(b2+c2+d2)-2(bc+bd+cd)=2(b2+c2+d2)-[(b+c+d)2-(b2+c2+d2)]=3(b2+c2+d2)-(b+c+d)2=-4a2+10a-4^0 此题构造不等式求解，相当成功，切中要害，出奇制胜!四、构造方程(1)⑵(3)例4试确定l+y+z=37+护+z?=3x5+y5+z5=3的所有实数解.解由(1)、(2)得x+y=3-z(4)x2+y2=3-z2(5)(4)、(5)代入并整理得xy=z2-3z+3(6)由(4)、(6)可构造二次方程t2-(3-z)t+z2-3z+3=0(7)：•实数x、y是(7)的两根，当且仅当判别式人=(3-z)2-4(z2—3z+3)20.整理得(z-1)2W0,但是(z-1)2$0,Az-1=0,z=l.此时x=y=l,可见，(1)、(2)只有实数解x=l,y=l,z=l.它也适合(3)・故为原方程组的唯一实数解.本例由于巧妙地构造方程，使解法流畅，一气呵成！五、构造函数例5己知lxl=ax+1有一个负根而且没有正根，试求a的取值范围.解原方程的根是函数y=lxl和y=ax+l的图彖交点的横坐标，方程有负根而无正根，就是过点(0,1)的直线与第二象限的角平分线相交而不与第一象限的角平分线相交，由图1可见a此题由题设条件，构造函数，使问题在新的关系下实现转化而使问题解决.六、构造反例例6设AABC的三边为3、b、c,△A]B]C】的三边为哲、br勺，若a】，c>C],则S△崩c>$厶人店£|•证明一个三角形一边有时虽然很长，但若这边上的高很小.则其面积也很小，试看下列反例：△ABC屮，BC=200,AB=AC=101, △A]B]C冲,A]B]=B]Ci=C]Ai=100・易得：Sd^c=|x200x71012-1002=100^7201<1500,SAARP=^-X10000=250073>2500・QA|D|L|4故则命题不真•此题由于构造反例，使问题解决得干净利索！七、构造等价命题例7求证：面积等于1的三角形不能被面积小于2的平行四边形所覆盖.证明构造等价命题：“若APQR在ABCD内部，则SAPQR只要过P点作MN//AB,证明SAPQESapren・那么这一等价命题不难证明，从而原命题获证.这里，正是等价命题帮助我们找到了解题思路.%1.构造图形例8已知a、b、c、d均为正数.求以JJ,Vb2+c2+d2+2bd,Va2+c2+d2+2ac为边的三角形面积.解根据三边长的特点，联想到勾股定理，它们都是直角三角形的斜边,因此，构造以三边分别作斜边的直角三角形，然后再拼在一起，在原来三角形基础上构造如图3的矩形.其中DA=a,AF=c,DB=b,BE=d,则FC=b+d,CE=a+c・=—(ab+da+bc)・这种简捷明快的解法，给人以美的享受，从以上几例可以看出，构造法具有综合面广，灵活性大.技巧性强等特点.用这种方法解出的数学题常给人以新颖、奇特的感觉•但构造法往往要经过奇思妙想，因而做起来比较困 难，正因为这样，经常试一试这种方法可以锻炼学生的思维能力，是培养我们进行创造思维教学的好方法，是值得向学生介绍的.