浅谈排列组合中的一题多解

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1、排列组合中的一题多解执笔：徐正旺在排列组合的计数问题学习中，由于对问题的视角不同，会有不同的办法完成某事件，或者有不同的步骤完成某事件。由于分类标准不唯一，分类次序不同，学生会混乱，其至无从着手。笔者意在通过一题多解的方法，对排列组合中有关解题方法进行系统、有条理的归纳、总结。举例如下：例1：某班有52名学生，其中正副班长各一人，现选派5名学生参加课外活动，如果正副班长中至少有一人在内，有多少种不同的选派方法？解法一：以正副班长中选中几个作为分类标准，分二类——①正副班长均选中，方法数：c22c5()3②正副班长中仅有一人选中，方法数:c?c504列式：解法二：

2、以止班长是否选中作为分类标准，分二类一一①正班长选中，不必考虑副班长，方法数：c514②正班长未选中，此时必须选中副班长，方法数：eg4列式：c^+c.'g,4由解法一、解法二可看出，由于分类时选择的标准不同，对同一问题有不同的解答方法。若换一个角度，还有以下解答方法:解法三：从侧面分析。52名学生中选派5人，必有47人未被选中，此题转化为从50个同学中确定47个不参加课外活动及50个同学中选派46个，2个班长中选派1个不参加这项课外活动，两种计数的和列式：CS047+解法四：总体上用排除法。总方法数：c525,从中排除掉不满足条件的方法数，即止副班长均未选中的

3、方法数：C505列式：c525-c505解法五：局部上用排除法。正班长选中的方法数加上副班长选屮的方法数C「。而止副班长均选中的方法数C5J重复计算,需扣除。列式：c514+c514-c5()3例2：把字母a、b、c、d>e、f、g7个元素排成一列，要求a不在首位，b不在未位，求方法数。解法一：从特殊元素一一a考虑。由于a不能排首位，则a可排中间五位或末位。%1a排中间5位,方法数：P；PjP]%1a排末位，方法数：P6列式：P51P51P55+P6解法二：从特殊位置一一首位考虑。首位不能排a,则只能排b或其它五个元素。%1首位排b,方法数：pb%1首位排其它5

4、个元素，方法数：P5'P5'P5列式：P6+P5'P5lP5解法一和解法二虽然列式一样，但思考问题的角度截然不同。解法三：整体上分类，若a、b排中间五个位置有可T种方法，若&在末位，b在中间五个位置有戸5‘可排法；若b在首位，a在中间五个位置有用忙种排法；a在末位，b在首位，有P5种排法：列式:厅厅+2尺代+4若再换一个视角，还可用排除法解答此题。如图：用n(I)表示7个元素的全排列数；n(A)表示a在首位的排列数；n(B)表示b在末位的排列数。则图中阴影部分即为a不在首位，b不在末位的方法数，即H(AA5)=/7(AnB)解法四：对全体方法数分类，使用排除法。

5、7个元素的全排列数n(1),排除a在首位的方法数n(A)和b在末位的方法数n(B),但其中a在首位，b在末位的方法数n(重叠计算，(如上图)，即为n(AAB)=n(Z)-n(AJB)=n(Z)一[n(A)+n(B)-n(AAB)]歹U式：P1-(P^P6-P5)=P1-2P^P5解法五：再换一种解度，如上图，求阴影部分对应的方法数，可用全体排列数n⑴排除a在首位的方法数n(A)，再排除b在末位但a不在首位的方法数n(AAB),即n(ADB)=n(A)一n(AC

6、B)=n(I)-n(A)-n(AAB)列式：P7-P6-C5>5解法六：如果对局部分类，可使用另一排

7、除法，如下图，a不在首位的方法数(C6>6)=a不在首位且b在末位方法数(C5>s)a不在首位且b不在末位方法数X即n（AQB）=n（A）-n（AAB）则列式为:x=c6]p6-c5lp5通过本例题可以看出，分类时，选择特殊元素还是特殊位I作为分类标准，是止面考虑还是反面着手(直接还是间接)；是整体分类还是局部分类，均有不同解答方法。例3：某班有30名男同学和20名女同学，现决定从中选出4名男同学、3名女同学，分别担任班长，学习、生活、文艺、体育、劳动、宣传委员，共有多少种不同的方法？分析：本题中把班长，学习、生活、文艺、体育、劳动、宣传委员七种职位当作七个位置

8、，实际上本题可理解为从50个元素中按要求选出7个元素排我于这7个位置。解法一：先按要求选出7个元素，再作排列。列式：C304C20>7解法二：先选岀男生作排列，再选出女生作排列。列式：C304P74P203解法三：先选出女生作排列，再选出男生作排列。列式：C203P73P304我们知道：完成某事件进行分步时，需要用乘法原理，但由于分步的次序不同，都会产生不同的解答方法。若换一个思考问题角度，本题还有如还有解答方法：解法四：先选7个位置中4个排男生，然后再排女生。列式：c74p304p203解法五：先选出男生所排位置，再选好男生，再排好男生，同样方法,处理女生。列

9、式:C74C3o4/^4