浅谈数学教学中的一题多解与一题多变

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1、浅谈数学教学中的一题多解与一题多变　　在新课改中，如何真正做到减轻学生负担，提高教学质量呢？不妨灵活采用一题多变，从精练与善思入手。这样可以以一变应万变，触类旁通，既提高了学习效益，又培养了良好的学习习惯与思维品质，让同学们终身受益。　　一题之“多”是指：一题多解、一题多变等方法，有目的、有重点地设计基本训练，有助于开拓思路，活跃思维，培养学生的创新能力。现就一题多变题的教学，谈谈自己的想法。　　一、一题多解，利于激发学习兴趣　　一题多解的题目要具有代表性，能包容大部分所学知识点，不能过于繁难，但也不能流于简单。过难挫伤学生研究学习的积极性，过于简单学生

2、没有兴趣，这一步对激发学生学习、探究的兴趣很重要。　　例如，有这样一道题目：甲、乙、丙三位同学合乘一辆出租车同往一个方向，事先约定三人分摊车资，甲在全程的1/3处下车，乙在全程的2/3处下车，丙坐完全程下车，车费共54元。问甲、乙、丙三位同学各付多少车费比较合理？　　学生对此车资问题很感兴趣，甲、乙、丙三位同学各付多少车费比较合理，意见很不一致。经过尝试设计了3种方案：第一种方案由甲、乙、丙三人均分，即每人各付18元；第二种方案按路程分摊：甲、乙、丙所乘路程的比为1∶2∶53分别付费9元、18元、27元；第三种方案分段结算：车费共54元，如果按前1/3路

3、程，中间1/3路程和最后1/3路程分别计算车费，则各为18元，开始的1/3路程需付18元，甲、乙、丙各付6元，中间的1/3路程需付18元，则乙、丙各付9元，最后的1/3路程需付18元，由丙承担，这样甲应付6元，乙应付15元，丙应付33元。　　从上例可以看出，同学们对此题很感兴趣，思维活跃，勇于探究，学习效果很明显。　　二、一题多变，利于培养创新与探究能力　　1.变换题设或结论，即通过对习题的题设或结论进行变换，从多个角度来探究同一个问题，这不仅可以让学生综合运用所学知识点解题，增强学生解题的应变能力，还培养了数学思维的深刻性和广阔性，从而培养创新思维的良

4、好学习品质。　　比如，同样对上述问题，我还对该题进行了多种角度的变式讨论，拓宽了学生的思路，活跃了学生的思维。　　变换（一）：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD中点，求证：CE⊥BE。　　变换（二）：在梯形ABCD中，AB∥CD，CE⊥BE，E是AD中点，求证：BC=AB+CD。　　变换（三）：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，CE⊥BE，判断E是AD中点吗？为什么？　　变换（四）：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD中点。求证：5　　2.变换题型，即将原题改装成新的题型，改变单调枯燥的习题模式，学

5、生解各种类型题的综合能力得以训练，又培养了学生思维的灵活性，有利于学生合作探究与创新能力的培养。　　例如一道初三月考题：如图5（略），已知△ADE中，∠DAE=120°，B、C分别是DE上的两点，且△ABC是正三角形，求证；BC是BD、CE的比例中项。　　分析：本题是有探索性的证明题，可引导学生从结论出发找到需证明△ABD∽△ECA的条件，从而使问题迎刃而解。将此题作为原形进行题型变换如下：　　变换（一）：改为填空题，如图5，已知△ADE中，B、C分别是DE上两点，∠DAE=120°，且△ABC是正三角形，则线段BC、BD、CE满足的数量关系是。　　本题

6、从表面上看，是对原题的简单形式变换，而实质上有探究的思想，即需要将BC分别代换为AB、AC，从而归结为找△ABD与△ECA的关系问题。　　变换（二）：改为选择题，如图5（略），已知△ADE中，B、C分别是DE上两点，∠DAE=120°，且△ABC是正三角形，则下列关系式错误的是（）　　名为选择题，实为要探究得出图中共有三对相似三角形，从而得知A、B、C选项均正确，选D。　　变换（三）：改为计算题，如图5（略），已知△ADE中，B、C分别是DE上两点，∠DAE=120°，且△ABC是边长为4的正三角形，且BD=2，求CE的长。　　仍然要探究出线段BC、BD

7、、CE满足的数量关系，从而转化为“知二求一”的问题。　　变换（四）：改为判断题，如图6（略），若图中∠DAE=135°，△5ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则结论还成立吗？　　把问题条件改变，用同样的思想方法探究得出同样的结论，进一步引申了原例的思想方法，拓展了学生的思维空间。　　变换（五）：改为开放性试题，如图5，已知△ADE中，∠DAE=120°，B、C分别是DE上两点，且△ABC是正三角形，则图中有哪些线段是另外两条线段的比例中项？　　结论的开放，给学生更多的思考空间，极大地锻炼了学生开放型的数学创新思维能力。　　变换（六）：改为综合性试题

8、，如图7（略），在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=