初中数学一题多解与一题多变

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1、初中数学一、一题多解，多解归一对于”一题多解”，我是从两个方面來认识和解释的：其一，同一个问题，用不同的方法和途径来解决；其二，同一个问题，其结论是多元的，即结论开放性问题。一题多解，有利于沟通各知识的内涵和外延，深化知识，培养发散性和创造性思维；多解归一，有利于提炼AED分析问题和解决问题的通性、通法，从中择优，培养聚合思维。例1：如图，已知D、E在BC上，AB二AC,AD=AE,求证：BD=CE.（本题来口《几何》第2册69页例3）思路与解法一：从AABC和AADE是等腰三角形这一角度出发，利川“等腰三角形底边上的三线

2、合一”这一重耍性质，便得三种证法，即过点A作底边上的高，或底边上的屮线或顶角的平分线。其通法是”等腰三角形底边上的三线合一”，证得BH=CH.思路与解法二：从证线段相等常用三角形全等这一角度出发，木题可设法证AABD竺AACE或证△ABE^AACD,于是又得两种证法，而证这两对三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS进行证明，所以实际是六种证法。其通性是“全等三角形对应边相等“。思路与解法三：从等腰三角形的轴对称性这一角度出发，于是用叠合法可证。oECBD例2：已知，如图，在中，AD是直径，BC是弦，AD丄BC,E为垂足，

3、由这些条件你能推出哪些结论？（要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程）A思路与解法一：从相等的线段这一角度出发，可得如下结论:l.OA=OD；2.BE=CE：3.AB=AC；4.BD=CD.思路与解法二：从相等的角这一和度岀发，可得如下结论：1.ZAEC=ZAEB=ZBED=ZCED=ZABD=ZACD=RtZ；2.ZABC=ZACB；3.ZDBC二ZDCB；4.ZBAD=ZCAD；5.ZBDA=ZCDA；6.ZBAD=ZBCD；1.ZCBD二ZCAD；&ZABC二ZADC；9.ZACB=ZADB.思路与解法三：从相

4、等的弧这一角度出发，可得如下结论：1.弧AB二弧AC；2.弧BD二弧CD；3.弧ABD=5fiACD；4.弧ABC=MACB；5.弧BAD二弧DAC.思路与解法四：从全等三角形这一角度出发，可得如下结论：1.AAEB^AAEC；2.ABED^ACED；3.AABD^AACD.思路与解法五：从相似三角形这一角度出发，可得如下结论：△ABEs/xaCEsZCDEsAbDEsAaBDsZaCD,即图中所有的直角三角形两两相似。思路与解法六：从比例线段这一角度出发，可得如下结论：1.AE・DE=EB・EC2.BE2=EA・ED

5、=EC23.AB2=AE・AI)=AC24.BD2=DE・DA=DC2思路与解法七：从其它一些角度去思考，还可得如下一些结论:1.ae2+be2=ab2=ac2=ae2+ec22.be2+ed2=bd2=cd2=ce2+de23.ZBAC+ZBDC=180°4.ZBAE+ZABE=90°5.S四边形ABCDjxBC$S弓形仙c=S弓形心以上两例分别从解法和结论发散性地分析与解决问题，其中例2虽然不要求写推理过程，但实际在分析过程中蕴含着异常丰富的思维和推断过程，如此便能很好地锻炼观察、猜想、推断、验证等探求能力和有效地发展

6、创造性思维能力。二、一题多变，多题归一知识是静态的，思维是活动的；例、习题是固定的，而它的变化却是无穷的。我们町以通(1)求证：AC平分ZBAE；(2)求证：AB=AE+BF；(3)求证：EF?=4EAxBF(4)如果OO的半径为5,AC=6,试写出以AE、BF的长为根的一元二次方程.变式四：把直线EF动起来，市相切变为相交，在运动变化过程中猜想并推断原有的结论是否仍成立，即把原来的封闭型试题演变为动态几何探索题。题目如下：（1）如图，AB是。0的直径，直线L与OO有一个公共点C,过A、B分别作L的垂线,垂足为E、F,则E

7、C=CF.（2）上题中当直线L向上平行移动时，与OO有了两个交点Cl、C2,其它条件不变,如图，经过推证，我们会得到与原题相应的结论：EC1二FC2；（3）把L继续向上平行移动，使与眩C1C2与AB交于点P（P不与A、B重合），在其它条件不变的情形下，请你在圆中将变化后的图形画出來，标好对应的字母，并写出与（1）、（2）相应的结论等式，判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由;若成立，给予证明。结论:o证明结论成立或不成立的理山：象以上这种-•题多解与一题多变的题例，在我们的教学过程中，如果有意识的去分析和研究，是举不胜

8、举、美不胜收的。我想，拿到一个题H,如果这样深入去观察、分析、解决与反思，那必能起道以一当十、以少胜多的效果，增大课堂的容量，培养学生各方而的技能,特别是口主探索，创新思维的能力，也就无需茫茫的题海，唯恐学牛不学了。我会继续努力并也建议老师们深入去研究课本的例、习题和全国各地的中考试题，象学主一样，不断