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1、9.3层次分析法的若干问题层次分析法问世几十年来不仅得到广泛的应用，而且在理论体系、计算方法以及建立更复杂的层次结构等方面都有着很快的发展。本节将着重从应用的角度分析几个问题。1、正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质成对比较阵是正互反阵。在层次分析中用对应它的最大特征根的特征向量最为权向量，用最大特征根定义一致性指标进行一致性检验。1这里人们首先碰到的问题是：正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指标的大小是否反映它接近一致阵的程度，特别，当一致性指标为零时，它是否就变为一致阵。下面两个定理可以回答这些问题。定理1对于正矩阵A(A的所
2、有元素为正数），1）A得最大特征根是正单根λ；2）λ对应正特征向量w（w得所有分量为正数）；3）2其中e=(1,1,…，1）T,w是对应λ的归一化特征向量。定理1）、2）是著名的Perron（1907）定理的一部分，3）可以通过将A化为表征证明。定理2）n阶正互反阵A的最大特征根λ≥n;当λ=n时A是一致阵。[证明]设A的对应于λ的特征向量为w=(w1,w2,…，wn),由定理1，λ>n,w>0.不妨将A的元素aij记做（1）3由A的正互反性，（2）根据特征根和特征向量的定义（3）将（1）代入（3）并对i求和得（4）4利用（2）式并注意到εij=1，
3、（4）式可化为（5）因为恒有（6）而（5）式中Σ和号内共项，所以（5）、（6）给出（7）5此即定理的第1部分。当λ=n时由（5）、（6）式可知必有（8）于是，由（1）知满足一致阵条件（9.1节（4）式），A是一致阵。6定理2和9.1节所述的一致阵的性质表明，n阶正互反阵A是一致阵的充要条件为，A的最大特征根λ=n。上述结论为特征根法用于层次分析提供了一定的理论根据。72、正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法。众所周知，利用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，特别是矩阵阶数较高的时候。另一方面，因为成对比较阵基本上是定义比较的量化结果，对它做
4、精确计算是不必要的、，所以完全可以用简便的近似算法计算特征值和特征向量，下面介绍几种。8（1）幂法步骤如下a.任取n维归一化初始向量w(0)b.计算c.归一化，即令d.对于预先给定的精度ε，当
5、wi(k+1)-wik
6、<ε(i=1,2,…，n),w(k+1)即为所求的特征向量；否则返回b.9e.计算最大特征根这是求最大特征根对应特征向量的迭代法，其收敛性由定理1的3）保证。w(0)可任取或取为下面方法得到的结果。10（2）和法步骤如下a.将A的每一列向量归一化得b.将按行求和得c.将归一化11即为近似特征向量。d.计算，作为最大特征根的近似值。这个方
7、法实际上是将A的列向量归一化后取平均值，作为A的特征向量。因为当A为一致阵时它的每一列向量都是特征向量，所以若A的不一致性不严重，则取A的列向量（归一化后）的平均值作为近似特征向量是合理的。12（3）根法步骤与和法基本相同，只是将步骤b该为b/.对按行求积并开n次方根法是将和法中求列向量的算术平均值该为求几何平均值。以上3个方法中以和法最简单。用它计算一个例子13类向量归一化按行求和归一化精确计算给出w=（0.588，0.322，0.090）T,λ=3.010.二者相比，相差甚微。143、为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量我们知道，当成对比较阵A
8、是一致阵时，aij与权向量w=(w1,…,wn)T得关系满足，那么当A不是一致阵时候，权向量w的选择应使得aij与相差（对所有的i,j)尽量小。这样，如果从拟合的角度看，确定w可以化为如下的最小二乘问题：（9）15由（9）式得到的最小二乘权向量一般与特征根法得到的不同。但是因为（9）式将导致求解关于w1的非线性方程组，计算复杂，没有有实用价值。如果改为对数最小二乘法（10）则化为求解关于lnw1的线性方程组。可以验证，如此解的w1恰是前面根法计算的结果。16特征根法解决这个问题的途径可由定理2的证明过程看出，若用（1）式给出的个方程由aij确定wi,
9、εij共个未知数（i=1,…，n,i>j),需要增加n个限制条件。若这n个条件为（11）则经（4）式推出（3）式，w恰为特征向量，（11）式的含义请读者解释（对比A为一致阵的情况）。由上可知，用不同标准确定的权向量是不同的。（当然，若A为一致阵，则用所有标准确定权向量相同）。那么，相对其他方法特征根法有什么优越性呢？17比较C1,C2,…,Cnn各因素对上层某因素的影响时，aij是Ci对Cj(直接比较）的强度，不妨称为1步强度。若记A2=(aij(2)),则不难得到，即aij(2)是Ci通过Cs(s=1,2,…，n)对Cj比较强度之和，称为2步强度，
10、它已包含了1步强度aij（因为和式中包括s=i,j).显然aij(2)比aij更能反映Ci对Cj的强度。类似
