数学模型-层次分析法的基本步骤

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1、层次分析法建模人们在日常生活中常常碰到许多决策问题：买一件衬衫，你要在棉的、丝的、涤纶的…及花的、白的、方格的…之中作出选择；请朋友吃饭，要筹划是办家宴或去饭店，是吃中餐还是西餐或自助餐；假期旅游，是去风光绮丽的苏杭，还是去迷人的北戴河海滨，或者去山水甲天下的桂林。如果以为这些日常小事不必作决策问题认真对待的话，那么当你面对报考学校，挑选专业，或者选择工作岗位的时候，就要谨慎考虑、反复比较，尽可能地作出满意得决策了。1从事各种职业的人也经常面对抉择：一个厂长要决定购买哪种设备，上马什么产品；科技人员要选择研究课题；医生要为疑难病症确定治疗

2、方案；经理要从若干应试者中选拔秘书；各地区各部门的官员则要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策。人们在处理上面这些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是一个共同的特点是他们通常涉及到经济、社会、人文等方面的的因素。再做比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，，2人的主观选择（当然要根据客观实际）会起着相当主要的作用，这就给一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。T.L.Saaty等人在七十年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称层次分析法（AnalyticHiera

3、rchyProcess,简记AHP).这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。过去研究自然和社会现象主要有机理分析和统计分析两种方法，起着用典型的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，共过大量观测数据寻求统计规律，近年来发展的系统分析又是一种方法，而层次分析法就是系统分析的数学工具之一。3下面先介绍层次分析法的基本步骤和应用实例，再讨论该方法在理论、计算以及建模等方面的若干问题。4层次分析法的基本步骤层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。不妨用前面提到的假期旅游为例，假如有P

4、1、P2、P33个旅游胜地供你选择，你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较那3个候选地点。首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经济宽裕、醉心旅游，自然特别看重景色条件，而平素朴素或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。5其次，你会就每一个准则将3个地点进行对比，譬如P1景色最好，P2次之；P2费用最低，P3次之；P3居住等条件比较好等等。最后，你要将这两个的比较判断进行综合，在P1、P2、P3中确定哪个作为最佳地点。上面的思维过程可以加工整理成为下几个步骤

5、：1、讲决策问题分解为3个层次、最上层为目标层，即选择旅游地，最下层为方案层，有P1、P2、P33个供选择地点，中间层为准则层，有景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则，各层间的联系涌现联的直线表示（图9-1）。6目标层准则层方案层图9-1选择旅游地的层次结构72、通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重。这些权重在人的思维过程中通常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法。3、将方案层对准则层的权重及准则对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重。在层次分析法中要给出进行综合的计算方法。层次分

6、析法将定性分析与定量计算结合起来完成上述步骤，给出决策结果。下面我们来说明如何比较同一层各因素对上层因素的影响，从而确定它们在上层因素中占的权重。8成对比较距阵和权向量涉及到社会、经济、人文等因素的决策问题的主要困难在于，这些因素通常不易定量地测量。人们凭自己经验和知识进行判断，当因素较多的时给出的结果往往是不全面和不准确的，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受。Saaty等人的做法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，而是对比时采用相对尺度，以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。9假设要比较某一层n

7、个因素C1,C2,…，Cn对上层一个因素O的影响，如旅游决策问题中比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性。每次取两个因素Ci和Cj，用aij表示Ci和Cj对O的影响之比,全部比较结果可用对比比较距阵A=(aij)n×n,aij>0,(1)表示。由（1）给出的aij的特点,A称为正互反矩阵。显然比由aii=1。如用C1，…,C5依次表示景色、费用、饮食、旅游5个准则，设某人用成对比较距阵（正互反阵）为10（2）（2）中a12=，表示景色C1和给用C2对选择旅游地这个目标O的重要性之比为1:2;a13=4表示景色C1和居住条件C3之

8、比为4：1；a23=7表示费用C2与居住条件C3之比为7:1。可以看出在此人选择旅游地时，费用因素最重要，景色次之。怎样由成对比较阵确定诸因素C1,…,Cn对上层因素O的权重。11仔细分析一下