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1、高考中最值问题分类探讨陕西洋县中学(723300)刘大鸣最值问题涉及到函数.不等式、三角函数、几何等高中数学重要内容，其解决过程涉及许多重要的数学思想方法，是高考试题中经常出现的问题。本文就高考中最值问题分类探究如卜・。•建立函数关系，利用函数性质求解的最值问题简析目标两数易求运输成本：y=s(-+/?v),veV1目标函数化归一次函数最值求解例1(84高考)RtZkABC中，090°,AC=8,BC=6,P是AABC内切圆上的动点，试求点P到的三个顶点的距(0,c),化为f(v)=s(-+/7V)在(0,c)上的绘小值，借助V离的平方和的戢大值和戢小值。▲
2、简析：利用处标法，建立函数关常，他归一次函数最值解决。如图建系，则A(8,0),不等式取等号条件猜出分界点胯定义法易证讪在⑴,内切圆半径r=B(0,6),C(0,2S^abcabI员］心(2,a^h+ca+bAa—)上减，在[baa7,+00)上增，讨论cJ-的大小，分两类研究。当列彳时,f(v)・W(c),此时f2)其内切圆方程(x-労+(y-2)2二4,设P(x,$)2.•=(x-8)2+y'+x"+(y是圆上动点，R当〜时，f(v)nin=f()，此时V=则s=
3、PA
4、2+
5、PB
6、2+-6)*+x2+y2=3[(x-2)2+(y-2)J-4x-76=3
7、X4-4x+76=88-4x在[0,4]上的最值，由单调性得S啮二8&S丽二721.标函数化归二次函数最值例2(90高考)设椭闘的屮心在坐标原点，长轴在x轴匕离心率O已知点P(0,-)到这个椭圆上的点的最远距离是"，求这个2椭圆的方程。简析：日标函数化归二次在区间上戢值，分类完成。由73
8、=2/?cos&八e二一，冇d=2b,则椭圆参数方程<(e为2[y=bsinO参数)，设椭圆上的点到P的距离为d,则3d2=4/?2cos2^+(bsind--)2=-3b2219(sin0)'+4/T+3,2bsin0[-1>1J»当<—1,即b<时，sin0-2b2—
9、1,d‘冇最大值(b)2=(y/1)',解得23]]]b=>—,与b<—矛盾；当刁一1,U
10、J2222bbW—时，sin0—,d'最大值为4b-+3-(22b兀2解得b二1,从而a=2,所求椭圆方程为一+y2=l。4注：此题也可构造圆和椭圆相切，利用△二0求解。3.目标函数化归分式类函数，用“倒数”函数性质求解例3(97高考)甲乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c(千米/小时)，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v的平方成正比，其系数为b,固定部分为a元，为了使全程运输成本最低，汽车应以多人速度
11、行驶？a~bVb4.目标函数化归三角函数最值问题例4(90上海)复平面上点A,B对应的复数分别为r—7二2,“=一3点p对应的复数为z,乂的辐Z-Z2角主值为心当P在以原点为圆心，1为半径的上半圆周(不包括两个鏑点)上运动时，求(p的放小值。简析利用复数概念建立目标函数，设z=cos9+isin0(0<0<71乙cos&+isin&—2cos0+isin&+3均值不等式完成。,则z-z25sin&10+6cos&5sin^ts(p=cos〃一50tg->25a/6cos&—510+6cos&ce二％2+3栏A2c/+2-52ctg--^-3tg-3tg运22
12、a/6,故V60,•••对应点10+6cos010+6cos&z-z27171在第二彖限，即(pw(—,龙)，又『=圾尤在(一，兀)内为5^6増函数，故(P最小值为Ji-arctg。1二.建立目标函数，利用不等式求解最值问题1.利用不等式求最值例5.(99高考)设复数z=3cos0+i2sin0(OV0JI<-),求y=0-agz的最人值及对应的0值2简析：利用复数概念建立日标函数，不等式求最值。由o<&v—则>0ILy=0-agz丘(，—)由正切函数单调性化为tgy=t
13、g(3-argz)有最大值，从而化为MA的最值。2cos0,sin&A(MA),(2cos^)MNT所以MA斷ix卡是丽的最大+普，最小值为1二3(MXB'-3(sin^+-)2+—33咖丁1石"w—14.22^3ctgO+2tg0123(出H仅出0=argtgf时取等号)，故由单调性知，a/6a/6当6>=arg^—时，y.„x=—注：比较例4,例5,再查86髙考题，回味研究高考题的必要性。2.利用不等式构建不等式解最值例6(98应用题改编)已知x+2y+xy=30(x>o,y>o),求xy的垠大值。简析：目标意识和均值不等式构建不等式解最值。x+2y+x
14、y=30「=>30>xy+2^/2-y/xy,乂为为
