敢于浅谈高考中的数学建模问题

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2、乐PI4•行厶'心口>3£吹不乂乂丄/H-/-O8632http:〃whxO910.taobao.com浅谈高考中的数学建模问题宁波勢州正始屮学数学组一王伍成函数是高中数学的主要内容，涉及函数的应用问题，题源丰富，背景深刻，题型新颖，解法灵活，是历年高考命题的热点Z-,同时也是考生失分较多的一种题型。应用题与现实生活联系密切，它不仅能培养学生分析问题和解决实际问题的能力，还能提高学生的思维素质。一般来说，高考屮的函数应用题往往是以现实生活为原型设计的，其口的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解

3、时i般按以下几步进行：（1）阅读理解、认真审题；（2）利用数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的相关方法将得到的常见数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果。而解答这类问题的要害就在于理解题意，建立恰当的数学模型将问题转化为数学问题。下面略举数例谈谈函数建模在生活和高考中的应用。1、优化问题.实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”或“线性规划”问题解决，例1、（1996年全国高考题）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占冇量比现在捉高10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少

4、多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产二总产量/总面积，人均粮食占有量二总产量/总人口数）O（平均增长率问题：如果原來人口的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的人口量为y=N（l+p）x.）分析：人口是以年增长率计算，土地是以每年减少的亩数计算，因此可以这样理解：人口是以几何级数（等比数列）增长，土地是以算术级数（等差数列）减少。本题的解答关键是建立数学模型，设现在总人口为P人时，10年后总人口为p（l+0・O1）10；现在人均粮食占有量为bt（吨）时，10年后则为6（l+10%）t；现在耕地共10’公顷，设每年允许减少xha时，10年后耕地将共有

5、（10*-10x）公顷；现有单产为Mt吨/公顷，10年后单产为MX（1+22%）I/公顷。设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为p人，粮食单产为M吨/公顷。x(l+10%)解：依题意得不等式Mx(1+22%)x(ll]4-10兀)>MxEAi+i%)10P化简得兀勺2l.lx(1+0.01)1厂r1.22j■io3x'l.lx(l+O.O1)10'ri.22j=103x1-1-1x(l+C^ox0.01+C^x0.012+•…1.22^103x1-^x1.1045対4.1_1.22_aM4(公顷)答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减

6、少4公顷。木题也可屈于预测问题，通过建立数列模型和不等式模型來解决问题。2、最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值。例2、（2007年福建高考）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交。元（3WqW5）的管理费，预计当每件产品的售价为兀元（9W兀W11）时，一年的销售量为（12-02万件.（I）求分公司一年的利润厶（万元）与每件产品的售价兀的函数关系式；（II）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润厶最大，并求出厶的最分析：总利润二每一件的利润X销售量二（每一

7、件的售价-成本-管理费）X销售量解：（I）分公司一年的利润厶（万元）与售价兀的函数关系式为：厶=(兀一3—0)(12—兀)2,XG[9,11].(II)r(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(l2-x)=(12一兀)(18+2°一3兀)・令厶'=0得兀=6■—°或兀=12(不合题意，舍去).32or•・•3WdW5,8W6+—aW—・332在兀=6+兰a两侧厶'的值由正变负.329所以(1)当8W6+土av9艮卩寸，32Sax=U9)=(9—3—0)(12—9)2=9(6一a)•2289(2)当9W6+土aW竺即=时,332max「<2>2C1)6

8、+—d—3—a12-6+-a=43——a13丿L<3丿<3丿厶(6+扌°)=心93Wa<-,22(万元)9(6-a),所以2(6/)=<4

9、3--6/峯若坯几牛则当每件售价为9元时，分公司-年的利机最大，最大值O/Q(d)=9(6-°)(万元)；若则当每件售价为6+)元时，分公司2/［、彳一年的利润厶最大，最大值2(6()=43--a<3j木题利用导数来求三次函数的最值。3、预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.例3、(2002年全国理科)某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并冃

10、每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量