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1、浅谈高考中的数学建模问题函数是高屮数学的主要内容，涉及函数的应用问题，题源丰富，背景深刻，题型新颖，解法灵活，是历年高考命题的热点之一，同时也是考生失分较多的一种题型。应用题与现实生活联系密切，它不仅能培养学生分析问题和解决实际问题的能力，述能提高学生的思维素质。一般来说，高考中的函数应用题往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时i般按以下几步进行：（1）阅读理解、认真审题；（2）利用数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的相关方法将得到的常见数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果。而解答这类问题的要害就在于理解题意，建立恰当的数学模型将
2、问题转化为数学问题。下而略举数例谈谈函数建模在生活和高考中的应用。1、优化问题.实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”或“线性规划”问题解决.例1、（1996年全国高考题）某地现冇耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%,如杲人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产二总产量/总面积，人均粮食占有量二总产量/总人口数）o（平均增长率问题：如果原来人口的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的人口量为y二N（1+p）x・）分析：人口是以年增长率计算，土地是以每年减少的亩数计算，因此可以
3、这样理解：人口是以几何级数（等比数列）增长，土地是以算术级数（等差数列）减少。本题的解答关键是建立数学模型，设现在总人口为p人时，10年后总人口为p（l+0・01）I0；现在人均粮食占有量为bt（吨）吋，10年后则为6（1+10%）t；现在耕地共10’公顷，设每年允许减少xha时，10年后耕地将共有（lO^-lOx）公顷；现有单产为Mt吨/公顷，10年后单产为MX（l+22%）t/公顷。设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为p人，粮食单产为M吨/公顷。解：依题意得不等式1-x(l+C^ox0.01+C^x0.012+••••1.22Mx(1+22%)x(ll]4-10或＞MxE
4、Ai+i%)10P化简得s—冲■io3x'1」x(l+0.01)lo_1—.1-22.=103x103x1一丄丄xl.10454.1_1.22_:.M4（公顷）答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。本题也可屈丁预测问题，通过建立数列模型和不等式模型来解决问题。2、最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值。例2、（2007年福建高考）某分公司经销某种詁牌产詁，每件产詁的成木为3元，并且每件产品需向总公司交Q元（3WoW5）的管理费，预计当每件产品的售价为兀元（9WxWll）时，一年的销售量为（12-x）2万件.（1）求分公司一年的利
5、润厶（力元）与每件产品的售价兀的函数关系式；（II）当每件产品的售价为多少元吋，分公司一年的利润厶最大，并求出厶的最大值!2（。）分析：总利润二每一件的利润X销售量二（每一件的售价-成本-管理费）X销售量解：（I）分公司一年的利润厶（力元）与售价兀的函数关系式为：L=（x-3-^）（12-x）2,xe[9,11].（II）r（x）=（12-x）2-2U-3-6Z）（12-x）=(12-x)(18+2q-3x)・2令Z/=0得兀=6+—q或兀=12(不合题意，舍去).322R・・・3WgW5,.•.8W6+—qW—・33在兀=6+红两侧厶'的值曲正变负.329所以(1)当8W6+±a<9艮卩=时
6、「，32Lmax=厶(9)=(9-3-d)(12-9)2=9(6-a)•7ORg(2)当9^6+-a^—即时,332max<2n>「.—2、2(］、36+—d—3—。12-6+-a=43——aI3丿L<3丿<3)=厶(6+餌y93Wa<—,2?WaW52Q(a)=9(6—a)a2（万元）;若产Z5,则当每件售价别6+-元时,分公司9(6-q),所以Q(d)h/、23--aI3丿峯若3*,则当每件售价为9元时，分公司-年的利润厶最大,最大值(万元)一年的利润厶最大，最大值2(6()=43--CI3)木题利用导数来求三次函数的最值。3、预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来
7、解决.例3、(2002年全国理科)某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并冃每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设2001年末汽车保有量为勺万俩，以后各年末汽车保有量依次为方2万俩，b.万辆，…，每年新增汽车兀万辆，则勺=30,Z?2=/?]x0.94+x对于〃＞1,冇bn+1
