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《线性代数第二章矩阵试题及答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第二章矩阵一、知识点复习1、矩阵的定义由m´n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m´n型矩阵。例如2-101111102254-29333-18是一个4´5矩阵.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。2、n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲
2、中要求掌握的.对角矩阵:对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵:对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵:对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是cE.上三角矩阵:对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵:对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足AT=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵:满足AT=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)正交矩阵：若AAT=ATA=E，则称矩阵A是正交矩阵。（1）A是
3、正交矩阵AT=A-1（2）A是正交矩阵=1阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足:①如果它有零行，则都出现在下面。②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零行数和台角位置是确定的。3、矩阵的线形运算（1）加(减)法:两个m´n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m´n矩阵,记作A+B(A-B),运算法则为对
4、应元素相加(减).（2）数乘:一个m´n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m´n的矩阵,记作cA,运算法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:①加法交换律:A+B=B+A.2加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).③加乘分配律:c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.④数乘结合律:c(d)A=(cd)A.⑤cA=0Ûc=0或A=0.4、矩阵乘法的定义和性质（1）当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB.AB的行数和A相等,列数和B相等.AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.
5、19即：矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:①矩阵乘法有条件.②矩阵乘法无交换律.即ABBA③矩阵乘法无消去律：即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A¹0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A¹0推不出B=C.(无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:①加乘分配律A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②数乘性质(cA)B=c(AB).③结合律(AB)C=A(BC)（2）n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.并且有行列式性质:
6、AB
7、=
8、A
9、
10、B
11、.如果
12、AB=BA,则说A和B可交换.方幂设k是正整数,n阶矩阵A的k次方幂Ak即k个A的连乘积.规定A0=E.显然A的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:①AkAh=Ak+h.②(Ak)h=Akh.但是一般地(AB)k和AkBk不一定相等!n阶矩阵的多项式：设f(x)=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0,对n阶矩阵A规定f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0E.称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E.乘法公式一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n阶矩阵互相都是互相可交换的,则
13、乘法公式成立.例如当A和B可交换时,有:(A±B)2=A2±2AB+B2;A2-B2=(A+B)(A-B)=(A+B)(A-B).二项展开式成立:等等.前面两式成立还是A和B可交换的充分必要条件.(3)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是m´n矩阵B是n´s矩阵，A的列向量组为a1,a2,…,an，B的列向量组为b1,b2,…,bs，AB的列向量组为g1,g2,…,gs，则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法
