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1、第2章矩阵及其运算§2.1矩阵的概念§2.2矩阵的运算§2.3几种特殊结构的矩阵§2.4方阵的逆矩阵§2.5分块矩阵§2.6矩阵的初等变换与初等矩阵§2.7矩阵的秩2008-10-211§2.1矩阵的概念定义2.1由mn个数排列成×的矩形数表⎛⎞aa"a11121n⎜⎟aa"aA=⎜⎟21222n⎜⎟###⎜⎟aa"a⎝⎠mm12mn称为mn×矩阵(matrix).记为Aa==(),A或Aa(),ijmn××mnij其中.ai为矩阵的第行第列的元素jijiim称为行标==1,2,"",，称为列标jjn=1,2,,.矩阵一般用大写字母A、B，…等表示.2008-10-212应注意，
2、矩阵与行列式是两个不同的概念.（1）矩阵是一个用数排成的数表或数阵，而行列式是一个数，（2）矩阵的行数与列数可以不等，而行列式的行数与列数必须相等。2008-10-213几个术语①实(复)矩阵:元素均为实(复)数的矩阵.②方阵:m=n时,称A为n阶方阵,也称为n阶矩阵.记为A.n③零矩阵O:元素都是零的矩阵⎛⎞00"0⎜⎟00"0Om==()0⎜⎟×n零矩阵（与数字零不同）mn×⎜⎟""""⎜⎟⎝⎠00"0mn×④行(列)矩阵:只有一行(列)的矩阵.也称为行(列)向量.2008-10-214定义2.2n个数a,a,…,a组成的一个有序数组12n(a,a,…,a)称为一个n维向量,
3、记为12n⎛a1⎞⎜⎟列向量行向量⎜a2⎟α=⎜⎟T或α=(,,,)aa"a...12n⎜⎟⎜⎟a⎝n⎠其中第i个数a称为向量的第i个分量.i这里向量概念是解析几何中向量的推广.2008-10-215⎛⎞12⎜⎟如⎜⎟−1是三维列向量,(12,)是二维行向量.⎜⎟⎝⎠0定义2.3方阵⎛⎞10"0⎜⎟01"0⎜⎟⎜⎟###⎜⎟⎝⎠00"1称为n阶单位矩阵，常记为E，E，或I，I.nn2008-10-216矩阵问题的例子例1（价格矩阵）四种食品在三家商店中销售，它们的售价可用以下矩阵给出：FFFF1234⎛1771121⎞S1⎜⎟SA=⎜1591319⎟2⎜⎟S⎝1881519⎠3这
4、里的行表示商店，而列表示食品，比如第2列就是第2种食品，其3个分量表示该食品在3家商店中的售价.*涉及到两个集合如上面的食品与商店，()且其元素间由某数上面是价格相关联的场合(),常用矩阵表示这种关联.2008-10-217§2.2矩阵的运算一、矩阵的加法定义2.4设有两个m×n矩阵⎛⎞aa1112""a1nn⎛⎞bb1112b1⎜⎟⎜⎟aa""abbbAB==⎜⎟21222nn⎜⎟21222⎜⎟"""""⎜⎟"""""⎜⎟⎜⎟aa""abbb⎝⎠m12mmn⎝⎠m12mmnabi==(12,,,;""mj=12,,,)n若ijij则称矩阵A和B相等.记作A=B注意：两个矩阵相等
5、必须满足1）行列对应相等，2）元素对应相等.2008-10-218定义2.5设有两个m×n矩阵⎛⎞aa1112""a1nn⎛⎞bb1112b1⎜⎟⎜⎟aa""abbbAB==⎜⎟21222nn⎜⎟21222⎜⎟"""""⎜⎟"""""⎜⎟⎜⎟aa""abbb⎝⎠mm12mn⎝⎠mm12mn⎛⎞ababab+++"111112121nn1⎜⎟ababab+++"⎜⎟212122222nn2矩阵C=⎜⎟""""""""""""⎜⎟⎝⎠ababab+++"mmmmm1122nmn称为矩阵A和B的和.记作C=A+B=(a+b).ijijm×n2008-10-219注意：只有当两个矩阵行数
6、相等，列数也相等时，这两个矩阵才能进行加法运算.矩阵的减法设矩阵Aa=(ij),记mn×⎛⎞−−aaa"−11121n⎜⎟−−aa"−a⎜⎟21222n−=−Aa()ij=mn×⎜⎟""""""""⎜⎟⎝⎠−−aa"−amm12mn-A称为A的负矩阵，显然有A+(-A)=O.由此定义矩阵的减法：2008-10-2110⎛⎞ababab−−−"111112121nn1⎜⎟ababab−−−"⎜⎟212122222nn2矩阵ABAB−=+−=()⎜⎟"""""""""""""⎜⎟⎝⎠ababab−−−"mmmmm1122nmn称为矩阵A与B的差.矩阵的加法满足下列运算规律：（1）交换
7、律：A+B=B+A（2）结合律：（A+B）+C=A+（B+C）（3）A+O=O+A=A（4）A-A=A+（-A）=O其中A、B、C和零矩阵O是行数和列数分别相等的矩阵.2008-10-2111二、数与矩阵的乘法⎛⎞aa"a11121n⎜⎟aa"a定义2.6设⎜⎟21222nA=⎜⎟"""""⎜⎟aa"a⎝⎠mm12mn数k与矩阵A的乘积记作kA，定义为⎛⎞kaka"ka11121n⎜⎟kaka"ka⎜⎟21222nkA=⎜⎟"""""""⎜⎟kaka"ka⎝⎠mm12mn2008
