线性代数教案_第二章_矩阵

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1、教案课程名称:线性代数编写时间：20年月日授课章节第二章矩阵§2.1矩阵　§2.2矩阵的运算目的要求理解矩阵的定义，掌握矩阵的运算重点矩阵的运算难点矩阵的乘法§2.1矩阵前面介绍了利用行列式求解线性方程组的方法，即Cramer法则。但是Cramer法则有它的局限性：1.系数行列式；2.方程组中变量的个数等于方程的个数。接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念及其运算。一、矩阵的概念矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。矩阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；

2、矩阵与行列式也有很大的关联，但二者不能等同混淆。对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等例1某种物资有3个产地，4个销地，调配量如表1所示表1产地销地调配情况表销地产地B1B2B3B4A11635A23120A34012那么，表中的数据可以构成一个矩形数表：第次第1－27页教案课程名称:线性代数编写时间：20年月日在预先约定行列意义的情况下，这样的简单矩形数表就能表明整个产销调配的状况。不同的

3、问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得到如下矩阵的概念。定义2.1由个数排成的行列数表（2.1）称为一个行列矩阵，简称矩阵。这个数称为矩阵的元素，其中称为矩阵的第行第列元素.（2.1）式也简记为或.有时矩阵A也记作.注1.元素是复数的矩阵称为复矩阵，元素是实数的矩阵称为实矩阵，本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵.2.当时，称矩阵为长方阵（长得像长方形）；3.当时，称矩阵为阶方阵（长得像正方形），简称方阵；4.两个矩阵的行数、列数均相等时，就称它们是同型矩阵.如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即则称矩阵A与矩阵B相等，记作A＝B5.所有元素都为零

4、的矩阵称为零矩阵，记为O.值得注意的是：不同型的零矩阵是不相等的.例2设，，已知A＝B，求.第次第1－27页教案课程名称:线性代数编写时间：20年月日【解】因为，，，所以二、几种特殊矩阵（1）矩阵，当时，即称为n阶方阵，记为.特别地，一阶方阵.方阵中从左上角元素到右下角元素的这条对角线称为方阵的主对角线，从右上角元素到左下角元素的这条对角线称为方阵的副对角线。（2）形如的阶方阵称为上三角矩阵.（3）形如的阶方阵称为下三角矩阵.（4）形如第次第1－27页教案课程名称:线性代数编写时间：20年月日的阶方阵称为n阶对角矩阵，记为.（5）形如的阶方阵称为n阶数量矩阵。特别地，当时，即矩阵

5、称为n阶单位矩阵，记为.应该注意到，单位矩阵是数量矩阵，数量矩阵是对角矩阵，而反之则未必成立.当然零矩阵也是数量矩阵.（6）只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量.为避免元素间的混淆，行矩阵也记作（7）只有一列的矩阵第次第1－27页教案课程名称:线性代数编写时间：20年月日称为列矩阵，又称列向量.就向量而言，称其元素为分量，分量的个数称为向量的维数.例如，是4维行向量，是维列向量.矩阵的每一行都是维行向量；A的每一列都是维列向量.（8）分量都是0的向量称为零向量，记为三、矩阵的线性运算1.矩阵的加法定义2.2设有两个矩阵和，矩阵A与B的和记为A＋B，规定第次第1－27页教案课程名称

6、:线性代数编写时间：20年月日两个同型矩阵的和即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵.值得注意的是：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算.矩阵加法满足下列运算规律（设都是矩阵）：（1）.（2）.（3）.2.矩阵的数乘定义2.3设有矩阵，为任意常数，数与矩阵A的乘积称为矩阵的数乘，记作kA或Ak，规定为即矩阵的数乘就是用这个数乘矩阵的所有元素.设，记称为矩阵A的负矩阵.显然有由此规定矩阵的减法为即两个同型矩阵的减法为对应位置元素相减.数与矩阵的乘法满足以下运算规律（设是矩阵，,为数）：第次第1－27页教案课程名称:线性代数编写时间：20年月日（1）.（2）.（3）.（4

7、），.（5）若，则或.矩阵相加与矩阵数乘结合起来，统称为矩阵的线性运算.例3设矩阵A=，B=，求3A-2B.【解】先做矩阵的数乘运算3A和2B，然后求矩阵3A与2B的差.3A==2B==3A-2B=-=例4已知设,　，,求．【解】四、矩阵的乘法定义2.4设是矩阵，是矩阵，规定矩阵A与B的乘积是一个矩阵，其中第次第1－27页教案课程名称:线性代数编写时间：20年月日即矩阵C的第行第列的元素是矩阵A的第行与矩阵B的第列对应元素相乘之和，记作注意(1)只有当左矩阵A的列数等于右矩阵B的