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1、时间序列分析兰州商学院统计学院第三章平稳时间序列分析3.1自回归过程3.2移动平均过程3.3自回归移动平均过程时间序列分析3.1自回归过程一、一阶自回归AR(1)（一）AR(1)特征1、模型表达式已知零均值平稳序列{}X具有一期记忆，即tX=φXa+tt11−t称上式为一阶自回归过程，记为AR(1)式中a为均值为0、方差为2tσa的白噪声序列时间序列分析2、模型特点基本假定若干关系模型实质时间序列分析（二）AR(1)的可逆性与平稳性1、AR（1）模型可逆性判别AR（1）模型是无条件可逆的2、AR（1）模型平稳性判别•判别原因–AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型
2、都是平稳的•判别方法–格林函数判别法–特征根判别法（辅助方程判别法）时间序列分析（1）格林函数判别法•Green函数定义AR模型的传递形式pp∞aktijXatt==∑∑=∑ki()λiBatΦ−()BBii==111λij=0∞∞pj=∑∑kaiiλt−−j∑Gjatjji==01j=0其中系数{Gj,j=1,2,"}称为Green函数.时间序列分析•AR(1)的格林函数AR(1):X=φXa+tt11−t∞122jXatt==(1+φφ11B+B+")at=∑φ1at−j1−φ1Bj=0从而格林函数为jGj==φ,0,1,"j1•上式是差分方程Xtt=φ11Xa−+t的解.它表明
3、系统是怎样记忆扰动a或某一时刻进t入系统的扰动对后继行为的影响程度，是过去扰动的权重函数.时间序列分析φ接近于1,表明系统的记忆较强；相反，φ接近于110，表明系统的记忆较弱，故格林函数亦称为记忆函数.由于格林函数描述了系统的动态性，那么在随机扰动序列已知的情况下，格林函数就完全能够确定系统的行为，从而根据已知的扰动序列和格林函数便可确定系统的响应拟合AR(p)模型的过程也就是使相关序列独立化的过程.时间序列分析•平稳性的Green函数判别法欲使序列平稳，则格林函数应满足当jG→∞时，有→0j时间序列分析（2）特征根判别法与辅助方程判别法•特征根判别–AR(p)模型平稳的充要条件是它的
4、p个特征根都在单位圆内–根据特征根和辅助方程的根成倒数的性质，等价判别条件是该模型的自回归辅助方程的根都在单位圆外•平稳域表示–平稳域{φ,φ,",φ单位根都在单位圆内}12p时间序列分析（3）AR(1)模型平稳条件•特征根λφ=1•平稳域φ1<1例3.1考察如下模型的平稳性(1)XX=0.8+att−1t(2)XX=−1.1+att−1t时间序列分析(1)XXtt=+0.8−1at(2)XXtt=−+1.1−1at时间序列分析（三）AR(1)的统计特征1、AR(1)的方差：•平稳AR(1)模型的传递形式为∞∞atiiXtt==∑∑()φφ11Ba=at−i1−φ1Bii==00•Gr
5、een函数为jG=φ,j=0,1,"j1•平稳AR(1)模型的方差∞∞222jj2σaVar()Xtt==∑∑φφ11Var(a)σa=2jj==001−φ1时间序列分析2、AR(1)的协方差函数•递推公式γφ==E()XXE(XX)+E(Xa)kt−−kt11tt−kt−ktk==φγ"=φγ11k−10(1k≥)时间序列分析3、AR(1)的ACF（1）ACF的求解ARA(1)的CFk∵γφ=γ,k10γkk∴ρ==φk1γ0（2）ACF的特点kρφ=,k1∵φ<1,1∴当k增大时，即序列之间的间隔增大时，ρ减小，且以指数速度减小，越来越与0接近，k这种现象称为拖尾.时间序列分析4、
6、AR(1)的PACF（1）PACF的求解AR(1)的PACF按照PACF的递推公式有：22ρρ−−φφφ211111φρ==；φ==011122211−−ρφφ1111φφ=−φφ=φ21112211132ρρ−−φρφφφ−−φ03221122111φ===033211−−ρφρφ−φ−01212221（2）PACF的特点当k≥=20时，φ，这种现象称为截尾现象.kk时间序列分析例3.2考察如下AR模型的自相关与偏自相关(1)X=0.8Xa+tt−1t(2)X=−+0.8Xatt−1t时间序列分析(1)XX=0.8+att−1t•自相关函数按指数形式单调收敛到零理论偏自相关函数样本偏
7、自相关图⎧0.8,k=1φ=⎨kk⎩0,k≥2时间序列分析(2)X=−0.8Xa+tt−1t•自相关函数按指数形式单调收敛到零理论偏自相关函数样本偏自相关图⎧−=0.8,k1φ=⎨kk⎩0,k≥2时间序列分析二、二阶自回归AR(2)（一）AR(2)特征1、模型表达式X=φXX++φatt11−−2t2t2、模型特点时间序列分析（二）AR(2)的可逆性与平稳性1、AR（2）模型可逆性判别AR（2）模型是无条件可逆的时间序列分析2、AR(2)模型平
