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1、一、平稳AR模型的统计性质均值，方差，自协方差函数，自相关系数的拖尾性及偏自相关系数的p阶截尾性二、ARMA模型之MA模型q阶MA模型形式：中心化，非中心化，移动平均系数多项式Xt=θ(B)εtMA模型的统计性质：均值，方差，自协方差函数，自相关系数的q阶截尾性及偏自相关系数的拖尾性MA模型的可逆性判定上次课内容回顾三、ARMA模型1、定义具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为ARMA(p,q)特别当φ0=0时，称为中心化ARMA(p,q)模型用过去的自己，并考虑到随机干扰或误差序列来预测自己系数多项式引进延迟算子，中
2、心化ARMA(p,q)模型可简记为其中p阶自回归系数多项式：q阶移动平均系数多项式：2、平稳条件与可逆条件ARMA(p,q)模型的平稳条件P阶自回归系数多项式Φ(B)=0的根都在单位圆外,即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由其自回归部分的平稳性决定ARMA(p,q)模型的可逆条件q阶移动平均系数多项式θ(B)=0的根都在单位圆外，即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可逆性决定3、传递形式与逆转形式传递形式逆转形式Green函数：逆函数：可转化为无穷阶MA模型可转化为无穷阶AR模型4、ARMA(p,q)模型的统
3、计性质均值自协方差自相关系数自相关系数和偏自相关系数都具有拖尾性【例3.7】考察ARMA模型的自相关性ARMA(1,1):直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系数的性质。显然，自相关系数和偏自相关系数拖尾样本自相关图样本偏自相关图ARMA模型相关性特征：模型自相关系数偏自相关系数AR(P)拖尾P阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾这也是直观选择拟合模型的常用方法之一3.3平稳序列的建模建模步骤模型识别参数估计模型检验模型优化一、建模步骤平稳非白噪声序列计算样本相关系数模型识别参数估计模型检验模型优化序列预测Ye
4、sNo二、计算样本相关系数样本自相关系数样本偏自相关系数由克莱姆法则，解Yule-Walker方程组得到。三、模型识别基本原则选择模型拖尾P阶截尾AR(P)q阶截尾拖尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)一般先通过时序图直观判断序列平稳性，再根据基本原则选择模型。模型定阶的困惑：因样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出完全截尾，本应截尾的自相关或偏自相关系数仍会呈现出小值振荡；因平稳时间序列具有短期相关性，随着延迟阶数无穷大时，自相关或偏自相关系数都会衰减至0值附近作小值波动；没有绝对的标准，主要靠经验。有时也利用一下由两种系数
5、的近似分布推出的结论。何时可作为截尾？何时为拖尾？样本相关系数的近似分布Barlett定理Quenouille定理模型定阶的经验方法95％的置信区间（正态分布2̘σ原则）模型定阶的经验方法：若样本(偏)自相关系数在最初d阶明显大于2倍标准差，后面几乎95％的值都落在2倍标准差范围内，且衰减为小值波动的过程很突然。这时常视为截尾，截尾阶数为d。何时可作为截尾？何时为拖尾？例2.5续选择合适的ARMA模型拟合1950年—1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列。序列自相关图显然，延迟3期后，虽自相关系数都落在2σ线内,但却逐渐的衰减
6、为小值波动，拖尾，平稳。序列偏自相关图显然，除延迟1期的偏自相关系数显著大于2σ线外,其它突然衰减为小值波动，可认为1阶截尾。所以可考虑拟合模型AR(1)【例3.8】美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORT序列由时序图可见，无周期性和单调趋势，序列平稳序列自相关图除延迟1阶在2倍标准差外，其它都在2倍标准差范围内波动，平稳，自相关系数1阶截尾。序列偏自相关图显然，偏自相关系数拖尾。所以可考虑拟合模型MA(1)【例3.9】1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列由时序图可见，无周期性和单调趋势，序列平稳序列自
7、相关图显然，自相关系数拖尾。序列偏自相关图显然，偏自相关系数拖尾。所以可考虑拟合模型ARMA(1,1)四、参数估计待估参数（也称模型口径）非中心化的ARMA(p,q)可转化为有p+q+2个未知参数常用估计方法：矩估计极大似然估计最小二乘估计1、矩估计原理用相应阶样本自相关系数估计总体自相关系数样本一阶均值估计总体均值样本方差估计总体方差【例3.10】求AR(2)模型系数的矩估计AR(2)模型Yule-Walker方程矩估计（Yule-Walker方程的解）将偏自相关系数代入Y-W方程【例3.11】求MA(1)模型系数的矩估计MA
8、(1)模型由MA(1)协方差函数公式矩估计【例3.12】求ARMA(1,1)模型系数的矩估计ARMA(1,1)模型自相关系数与自协方差的关系方程矩估计矩估计的特点：优点估计思想简单直观不需要假设总体分布计算量小（低阶模型场合）缺点信息浪费严重只依赖p+q个样本自
