平稳时间序列分析

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1、一、时间序列分析三种常用方法性工具：差分运算--p阶，k步延迟算子--将序列值回退Xt-p=BpXt线性差分方程--非齐次与齐次；特征方程与特征根；特解与通解二、ARMA模型之AR模型P阶AR模型形式--中心化，非中心化；中心化变换；自回归系数多项式G(B)Xt=εtAR模型平稳性判别--特征根判别，平稳域判别；AR(1)AR(2)平稳判别条件上次课内容回顾三、平稳AR模型的统计性质均值方差协方差自相关系数偏自相关系数1、均值如果AR(p)模型满足平稳性，则有因平稳序列均值为常数，且{εt}为白噪声序列，有则（即AR的中心化变换）（1）G

2、reen函数定义AR模型的传递形式2、方差其中ki(i=1,…,p)为常数，λi为特征值且在单位圆内框中式子称为AR模型的传递形式，而系数{Gj,j=1,2,…}称为Green函数。Green函数性质：呈负指数下降，且（2）Green函数递推公式利用待定系数法解上述方程可得递推公式对平稳AR模型的传递形式两边求方差得（3）AR的方差【例3.2】求平稳AR(1)模型的方差平稳AR(1)模型的传递形式为Green函数为平稳AR(1)模型的方差特征根λ=φ1平稳时，<13、协方差函数在平稳AR(p)模型两边同乘xt-k，再求期望因平稳性且中心化

3、，有得协方差函数的递推公式【例3.3】求平稳AR(1)模型的协方差由协方差函数递推公式而平稳AR(1)模型的方差为协方差函数的递推公式为Γ0即方差【例3.4】求平稳AR(2)模型的协方差平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为4、自相关系数因相关系数的定义由协方差函数递推公式易得平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式可推得：常用平稳AR模型自相关系数递推公式AR(1)模型AR(2)模型平稳AR模型自相关系数的拖尾性拖尾性呈复指数衰减【例3.5】考察如下平稳的AR模型的自相关图例3.5自相关系数按复指数单调收敛到零例3.5自相关系数单调收敛

4、到零例3.5自相关系数呈现出“伪周期”性例3.5自相关系数不规则衰减5、偏自相关系数定义对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量xt-1,xt-2,…,Xt-k+1的条件下（即在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后），xt-k对xt影响的相关度量。即偏自相关系数的计算滞后k偏自相关系数实际上就等于k阶自回归模型第个k回归系数的值。平稳AR模型偏自相关系数的截尾性AR(p)模型偏自相关系数P阶截尾例3.5续:考察平稳AR模型的偏自相关图例3.5理论偏自相关系数样本偏自相关图例3.5理论偏自相关系数样本偏

5、自相关图例3.5理论偏自相关系数样本偏自相关图例3.5理论偏自相关系数样本偏自相关系数图二、MA模型1、定义：具有如下结构的模型称为q阶移动平均模型，简记为MA(q)特别当μ=0时，称为中心化MA(q)模型。【注意】（1）MA模型总满足平稳条件；（2）AR(p)的假设条件不满足时可以考虑用此模型。（3）系数敏感性较AR模型差。用均值+过去时期的随机干扰或误差来预测自己移动平均系数多项式引进延迟算子，中心化MA(q)模型可简记为q阶移动平均系数多项式2、MA模型的统计性质均值为常数方差为常数自协方差函数q阶截尾自相关系数q阶截尾常用MA模型

6、的自相关系数MA(1)模型MA(2)模型偏自相关系数拖尾【注意】MA模型的自相关系数q阶截尾及偏自相关系数拖尾，正好与AR模型相反。【例3.6】考察如下MA模型的相关性质（1）（2）MA模型的自相关系数截尾两自相关图相同（3）（4）MA模型的自相关系数截尾两自相关图相同(1)(2)MA模型的偏自相关系数拖尾两偏自相关图相同(3)(4)MA模型的偏自相关系数拖尾两偏自相关图相同3、MA模型的可逆性自相关系数列对应MA模型的不唯一性例3.6中不同的MA模型有相同的自相关系数和偏自相关系数，这样对利用自相关系数选择合适模型带来困惑。可逆MA模型

7、定义若一个MA模型能够表示为收敛的AR模型，那么该MA模型称为可逆MA模型一自相关系数唯一对应一可逆MA模型。可逆MA(1)模型条件虽然形式一样，但可逆时条件要求不同，仍是一一对应MA模型的可逆条件MA(q)模型的可逆条件是：MA的AR形式的特征根都在单位圆内，即等价于MA的系数多项式的根都在单位圆外可见，若MA可逆，则MA的可逆性与相应AR形式的平稳性等价的。MA的逆函数的递推公式对可逆的MA模型，有利用待定系数法可得逆函数I(B)递推公式例3.6续考察如下MA模型的可逆性(1)—(2)由MA(1)可逆条件及逆函数的递推公式：逆函数则

8、模型的逆转形式(3)—(4)逆函数逆转形式作业P98习题三9、11（2）（4）