第4章 第1讲 - 极坐标中的平衡微分方程

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1、THEORYOFELASTICITY第四章平面问题的极坐标解答第四章平面问题的极坐标解答4-1极坐标中的平衡微分方程4-2极坐标中的几何方程和物理方程4-3位移、应力分量的坐标变换式4-4极坐标中的应力函数法2第四章平面问题的极坐标解答4-5轴对称应力问题4-6圆环或圆筒受均布压力4-7压力隧洞4-8圆孔的孔口应力集中4-9楔形体问题3第四章平面问题的极坐标解答为什么要在极坐标中研究平面问题？对于由径向线和圆弧线围成的圆形、圆环形、扇形、楔形等的弹性体，宜用极坐标求解。因为用极坐标表示其边界线非常方便，从而使边界条件的表示和方程的求解得到很大的简化。譬如：Ox2

2、gq11gq2y抽象为楔形体的三角形重力坝抽象为圆筒的压力管道4第四章平面问题的极坐标解答在极坐标中，平面内任一点P的位置，用径向坐标和环向坐标来表示。Ox——极径，以背离坐标原点为正方向；P——极角，以自x轴90转至y轴的转向Pxy(),)P(,为正（图示情况下顺时针为正）。y极坐标系和直角坐标系都是正交坐标系，但两者也有所区别直角坐标系极坐标系坐标线均为直线一直线，一圆弧曲线坐标方向固定不固定坐标的量纲LL,1这些区别将引起弹性力学基本方程的差异。5第四章平面问题的极坐标解答第1讲极坐标中的平衡微分方程在这一讲，我们首先从平面弹性体内取出一个极坐标系中的微分

3、体，标示出各微分面的应力分量，然后列出静力学平衡条件，从而推导极坐标中的平衡微分方程。64.1极坐标中的平衡微分方程极坐标中的微分体OxdPdAPABCdPBdBAC(d)ddCy在xy平面上，该微分体是由夹角为d的两条径向线PA、BC，以及距离为d的两条环向圆弧PB、AC所围成的一个微小扇环。74.1极坐标中的平衡微分方程各微分面上的正的应Ox力分量以及体力分量dP径向正应力dA环向正应力dBff切应力dddCy应力正负号的规定与直角坐标系相同，需首先判断各微分面的正负号：——正面上沿坐标轴正向的应力为正；8——负面上沿坐标轴负向的应力为正。4.1极坐标中

4、的平衡微分方程列静力平衡条件OxF0dPddddAddBffddsind2ddddsinC2dydddcos2dddsin,cos1222d1dcosfdd0f029略去最高阶小量4.1极坐标中的平衡微分方程列静力平衡条件OxF0dPdddcos2dAddcosd2Bffdd(d)ddddCydddsin2dddsin,cos1222d12dsinfdd0f0210略去最高阶小量4.1极坐标中的平衡微分方程列静力平衡条件MP0极坐标中平面问题的平衡微分方程1f012f0其中第一式为径向平衡方程，第二式为环向平衡方程，此二平衡微分方程包含三个未知函数、和，因此，弹

5、性静力学问题是超静定的，还必须考虑几何学和物理学方面的条件。11