弹性力学11-极坐标中的平衡微分方程

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1、第四章平面问题的极坐标解答本章要点本章将系统地讲述平面问题极坐标解答的基本理论。主要内容如下：1、极坐标系下平面问题的基本方程；—平衡方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。2、极坐标系下按应力求解的方法；3、极坐标系下典型问题的求解应用。—圆环或厚壁圆筒、开孔板、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。第四章平面问题的极坐标解答本章内容4.1极坐标中的平衡微分方程4.2极坐标中的几何方程与物理方程4.3极坐标中的应力函数与相容方程4.4应力分量的坐标变换式4.5轴对称应力和相应的位移4.6圆环或圆筒

2、受均布压力4.7圆孔的孔口应力集中4.8半平面体在边界上受集中力第四章平面问题的极坐标解答4.1极坐标中的平衡微分方程采用极坐标系求解的优点：对于由径向线或圆弧线所围成的圆形、圆环形、楔形、扇形等弹性体，由于用极坐标表示其边界线非常方便，从而使得边界条件的表示和基本方程的求解得到很大的简化，宜用极坐标求解。第四章平面问题的极坐标解答4.1极坐标中的平衡微分方程极坐标系中任一点用径向坐标r和环向坐标j表示。直角坐标(x,y)与极坐标(r,j)比较：相同:两者都是正交坐标系。区别:直角坐标中,x和y坐标线都是

3、直线,有固定的方向,x和y的量纲均为L。极坐标中,r坐标线（j=常数）和j坐标线（r=常数）在不同点有不同的方向;r坐标线为直线,j坐标线为圆弧曲线;r的量纲为L,j的量纲为1。这些区别将引起弹性力学基本方程的区别。第四章平面问题的极坐标解答4.1极坐标中的平衡微分方程研究对象微分体的选取：选取夹角为dj的两条径向线段和距离为dr的两条环向线段所围成的微分体PACB，厚度为1。注意微分体中：两j面不平行，夹角为dj；两r面面积不等，分别为rdj和（r+dr）djr从原点出发为正，j从x轴向y轴方向转

4、动为正。第四章平面问题的极坐标解答4.1极坐标中的平衡微分方程应力分量的定义：沿r方向的正应力称为径向正应力，用s表示；沿jr方向的正应力称为环向正应力或切向正应力，用s表示j；切应力用t及t表示。rjjr应力正负号规定：正坐标面上以沿正坐标方向为正，负向为负；负坐标面上以沿负坐标方向为正，正向为负；径向及环向的体力分量分别用f和f表示，以沿正rj坐标方向为正，负向为负。第四章平面问题的极坐标解答4.1极坐标中的平衡微分方程目的及意义：平面区域内任一点的微分体的平衡条件考虑问题的基础知识：平面上

5、的静力学知识分析问题方法：平面力系和力矩的平衡条件分析手段：微分单元体（微分）第四章平面问题的极坐标解答4.1极坐标中的平衡微分方程径向面PB和AC的面积不相同，分别为rdf×1和(r+dr)df×1，环向面PA和BC的面积均为dr×1，但两者不平行。与直角坐标中相似，两相对面应力存在着由于位置坐标的变化而引起的微小差值，利用泰勒级数展开，略去二阶微量，可求出各微面上的应力。第四章平面问题的极坐标解答4.1极坐标中的平衡微分方程取微分体PACB，将其受到的各力向过微分体中心点的径向轴上投影，建立径

6、向r平衡微分方程。sr(s+d)(rr+d)drjsrjdrrrsjddjj(s+d)dsinjrsdsinrjjj22tjrddjj+(t+d)dcosjrtdcosr+frjrdd0,jrjrrj22第四章平面问题的极坐标解答4.1极坐标中的平衡微分方程一阶微量互相抵消，略去三阶微量：其中可取：sr(srr+d)(rr+d)drjsrjddjrcos1,2sjddjjddjj(sjj+d)dsinjrsdsinrsin.j2222tjrddjj+(t+d)dco

7、sjrtdcosr+frjrdd0,jrjrrj22ssrr2srjrd+rrjsdd+rddrj+(dr)djsrjrdrrdjsjdjdjsdsinrddsinjrsdsinrjj2j22tjrdj+ddcosjr+frjrdd0,rj2第四章平面问题的极坐标解答4.1极坐标中的平衡微分方程将微分体受力向过形心的径向轴投影，可得径向（r向）微分体平衡公式：Fρ0sr1tjrsrsjsr1tjrsrsj+++fr0+++f0rrrjrrrjr同

8、理，将微分体受力向过形心的切向轴投影，建立环向（j向）微分体平衡公式：Fj0,1st2tjrjrj+++f0rjrrj第四章平面问题的极坐标解答4.1极坐标中的平衡微分方程列平衡条件时：（1）应力和体力应分别乘以其作用面积和体积，才能得到合力；（2）应用了两个基本假设：连续性假设和小变形假设，这也是其适用的条件；（3）平衡微分方程表示了平面区域内任一点的平衡条件；（4）平面应力问题和平面应变问题的