Zp上的遍历定理

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1、第29卷第2期2012牟4月沈阳航空航天大学学报JournalofShenyangAerospaceUniversityVoI-29No．2Apr．2012文章编号：2095—12档(2012)02—0086—03ZP上的遍历定理郭宇红(首都师范大学．北京100037)摘要：在密码学和编码理论中，学习伪随机序列和遍历变换十分重要。通过应用组合的性质，对其进行变形，使得在满足引理l的条件下，对乙上的遍历定理进行了证明。关麓词：遍历；函数域；马勒展开式中图分类号：0156文献标志码：Adoi：10．3969／j．issn．2095—1248．201

2、2．02．020Ergodictheoryover乙GuoYu·hong(脚italNormalUniversity，Beijing100037)Abstract：Incryptographyandcodingtheory，itisimportanttostudythepseudo-randomsequencesandtheergodictransformations-InthispaperWCpresentanergdictheoryOVeI"弓．Keywords：ergodic；funtionfields；malderexpansion在伯

3、克霍夫和冯·诺伊曼的开创性工作之后H1，许多数学家对个体及平均遍历定理作了种种推广。它包括：把平均遍历定理推广到更一般的巴拿赫空间和更一般的变换；把关于点变换的平均遍历定理推广到关于马尔可夫过程的平均遍历定理；把关于离散半群也的个体及平均遍历定理推广到更一般的单参数半群也甚至多参数的情形等。由许多数学研究者得到的遍历定理的各种提法有：极大遍历定理、一致遍历定理、受控遍历定理、局部遍历定理、阿贝尔遍历定理和次可加遍历定理等。保测变换的谱理论研究则是遍历理论与泛函分析相关联的重要课题。上面提到的遍历理论的研究工作，都假定事先有了一定的测度。在数学研

4、究中还可以提这样一类问题旧J：给定拓扑空间x上的连续变换毋。是否存在x上的概率测度弘使其成为保测变换?这样的测度是否唯一?这又引起了关于不变测度的研究。数学上已经证明：对于紧致的可度量化的空间x的连续变换西，不变测度必定存在。如果这种不变测度p是唯一的，那么咖关于该测度就必定是遍历的，这时称变换咖具有唯一遍历性‘“。在遍历理论的数学研究不断深入的过程中，这一理论的最初目标(证明各种具体的哈密顿力学系统的遍历性)始终仍然是人们最重视的问题之一【4。。一个连续函数五z，一z，有它的马勒展开式㈣：p，其中a{E乙，且f一∞时，4i卅，(0甜(x-1)

5、(X-2)．．·(x-f+1)／i!，整数f≥l和阶l。还可以写成：，(x)=薹口；㈤=6。+∑咖州1㈤i=0、I，i=0、I，引理1给出一个拉普希茨函数．I，：zP一知和P进整数c,d，c≠0(rnodp)，则函数g(工)=C+工收稿日期：2011—12—09作者简介：郭宇红(1978一)，男，山西汾西人，讲师。主要研究方向：代数散论。E—mail：ga9901@163．∞m。第2期郭宇红：乙上的遍历定理87+pAv(x)是遍历的(其中△是微分算子：／iv(X)=v(x+1)一1，(石))‘6

6、证明：91(x)=c+x+pv(x+1)一pv(

7、x)一(工)=g(∥。1(x))=巧+∥一(X)+pv(hj一(工)+1)一pv(h’。1(工))=cj+J+p∑’，(∥(z)+1)-p∑v(∥(z))因此，，“。(工)=cp卜1“石+p∑v(g‘(工)pI。II—I+1)一p∑v(g‘(x))p^一1l一1一一It一1因为，Z1，(vf(工)+1)；∑'，(∥(工))，’‘』一1zz∑V(z)(modpbl)表明，∥。7s印卜1，+x(modp‘)(f≠0(modp))故∥。。(o)so(modp‘)，则fso(modp)是必需的。由f(工)遍历(modp“1)§尸^7(工)；z(modp

8、hl)，则l----O(modp)，对任意z∈乙‘73可证g(x)=c+J+必v(x)是遍历的。推论令(特别地，△vl(x)=2sx+av(x)，P--2)，P是奇数，则函数g(工)=C+x+p△v(并)遍历。证明：当r=1+ps(p是奇数)，特别P=2时，r=1+4s。当，∈乙，函数U(工)=s(：)(特别，“(工)=2s(i))是乙上的多项式，是一个拉普希茨函数。所以，函数v。(z)=比(z)+1，(工)也是一个拉普希茨函数。当△l，，(工)=缸+加(工)，P时奇数(特别地，厶vl(工)=2sx+△v(工)，P=2)，由引理l的证明可知，s

9、(x)=C+工+p△v(工)遍历。弓-理2(：)=(：一1)+(：：：：：)证明：(：：)=业尘n#业、作』!fJ～11一(点=12f点=22：：：f