实验二 斐波那契数列

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1、实验二斐波那契数列一、实验目的认识Fibonacci数列，体验发现其通项公式的过程；掌握matlab软件中进行数据显示的方式；了解matlab软件中进行数据拟合的方式；提高对数据进行分析与处理的能力。二、背景知识1.数据可视化将离散的数据：FFFF,,,,,F,，看成平面坐标系里的点列：1234n(1,F),(2,F),(3,F),(4,F),,(,nF),，然后利用matlab软件的plot函数，在1234n平面坐标系里划出一条折线，就可以实现离散数据的可视化。plot函数的基本使用格式为：函数：plot(X,Y,'s')功能：将所给的点列，连接成一条折线。当点较多时

2、，就是曲线。说明：（1）X-点列的横坐标，Y-点列的竖坐标，二者是同长度的数值向量或数值矩阵。''s是图形的格式字符串。（2）横坐标可缺省，默认为自然数。格式字符串也可以缺省，系统会自动调节。（3）增加一对坐标，就多画一条曲线。2.数据拟合数据拟合就是寻找一个目标函数，作为被拟合数据的近似函数关系。目标函数的类型，可以是多项式、指数函数等。作数据拟合，首先需要估计目标函数的类型，这一点可以通过数据可视化来观察得到，而一阶多项式是最常见的目标函数，此时称为线性回归，确定拟合系数的原则是最小二乘法，即所有误差的平方和取最小值。在matlab软件中以多项式为目标函数作数据拟合

3、的函数是polyfit，它的基本使用格式为：函数：polyfit(x,y,n)功能：用n阶多项式拟合数据列(x,y)，使得在数据点处误差的平方和最小。说明：参数x和y都是数组，里面是数据列的横坐标和纵坐标；参数n是指定多项式的阶，在实验中参数n通过对数据列的分析而得到。例1对函数yxln(1)做3阶多项式拟合代码：x2=0:0.1:1;y2=log(1+x2);p2=polyfit(x2,y2,3)运行结果：p2=0.1079-0.39740.98250.0004。32说明：多项式完整形式为：p20.1079x0.3974x0.9825x0.00043.多项

4、式求值通过数据拟合得到的只是多项式的系数，如果要对这个多项式求值，则调用函数polyval即可，这个函数的基本使用格式为：函数：polyval(p,x)功能：求多项式p在x处的函数值。x是数组的话返回函数值数组。说明：参数p是多项式的系数数组，从高阶到低阶。例2对例1的数据点、原曲线和拟合曲线作图，观察拟合效果代码：plot(x2,y2,'ro',x2,log(1+x2),'g',x2,polyval(p2,x2),'b')legend('数据点','原曲线','拟合曲线');运行结果：图2-1-4。说明：参数'ro'表上这条曲线显示为红色的小圈；legend(s1,s

5、2,…)，为当前图形添加对应的图例。在图中，可以观察到拟合效果非常好。图2-1-4三、问题描述与分析1.兔子繁殖的数量问题某人养了一对兔，一个月后生育了一对小兔。假设小兔一个月后就可以长大成熟，而每对成熟的兔每月都将生育一对小兔，且假设兔子不会死亡。问：一年后共有多少对兔子？2.数量问题简答这个问题，最早由意大利数学家斐波那契(Fibonacci)，于1202年在其著作《珠算原理》中提出。根据问题的假设，兔子的总数目是如下数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…问题的答案就是此数列的第12项，即一年后共有144对兔子。3.斐波那契数

6、列这个数列通常被称为斐波那契(Fibonacci)数列，研究这个问题就是研究Fibonacci数列。对这个问题作更深入的研究，我们会问：第n个月后，总共有多少对兔子？即Fibonacci数列的第n项是多少？这就需要我们探索Fibonacci数列的通项公式。根据问题的描述，我们知道第n+2个月后兔子的对数，等于第n+1个月后兔子的对数（表示原来就有的老兔子对数），加上第n个月后兔子的对数（表示生育出来的新兔子对数）。这样就得到关于Fibonacci数列的一个递推公式：FFFn21nn有了这个递推公式，使用数学方法就能够得到这个数列的通项公式如下：nnF{[(1

7、5)2][(15)2]}5n这个公式是法国数学家比内(Binet)早在1843年发现的，称为比内公式。有了这个公式后，第n个月后兔子的对数，就是计算F。n4.本实验的思路从数学上得到Fibonacci数列的通项公式，并不是本实验的目的。我们的目的是在现代先进计算技术的平台上，探讨一些寻找数据内在规律的方法，这些方法能够广泛用于处理和分析各种数据，比如实验数据、统计数据等，而不仅仅是只针对数列。matlab软件具有非常强大的数据可视化功能，利用可视化功能将Fibonacci数列显示成平面曲线的形式后，我们可以更直观地观察其变化规律