第二章 数列 章末归纳整合 课件(人教A版必修5)

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1、章末归纳整合知识网络1．数列的分类要点归纳数列名称分类条件有穷数列无穷数列以数列的项数有限无限为根据来分递增数列递减数列恒有anan＋1(n∈N＋)常数列恒有an＝an＋1(n∈N＋)摆动数列有时an>an＋1，有时an

2、an

3、≤A成立不能找到一个正数A，使

4、an

5、≤A成立2．学习数列应注意的问题(1)在学习时，应多结合实例，通过实例去理解数列的有关概念．数列与函数密切相关，多角度比较两者之间的异同，加深对两方面内容的理解．在解题或复习时，应自觉地运用函

6、数的思想方法去思考和解决数列问题，特别是对等差或等比数列的问题．运用函数思想方法以及利用它所得到的许多结论，不仅可以深化对数列知识的理解．而且可使这类问题的解答更为快速、合理．(2)善于对比学习．学习等差数列后，再学等比数列时，可以等差数列为模型，从等差数列研究过的问题入手，再探求出等比数列的相应问题，两相对照，可以发现，在这两种数列的定义、一般形式、通项形式、中项及性质中，用了一些相类似的语句和公式形式，但内容却不相同，之所以有这样的区别，原因在于“差”与“比”不同．通过对比学习，加深了对两种特殊数列本质的理解，会收到事半功倍的效果．(3)要

7、重视数学思想方法的指导作用．本章蕴含丰富的数学观点、数学思想和方法，学习时应给予充分注意，解题时多考虑与之相联系的数学思想方法．题型一　求数列的通项公式数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有了解析式就可以研究函数的性质，而有了数列的通项公式便可以求出任何一项．所以研究数列的通项往往是解题的关键点和突破口，常用的求数列通项公式的方法有：要点整合1．观察法，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，归纳出通项公式；2．递推公式法，就是根据数列的递推公式，采用迭代、叠加、累乘、转化等方法产生an与a1(或Sn)的关系，得出通项公

8、式；∴当n≥2时，数列{an}是以3为公比的等比数列，且首项a2＝3a1＝9.∴当n≥2时，an＝9·3n－2＝3n.显然n＝1时也成立．故数列的通项公式为an＝3n(n∈N*)．方法点评：已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)．这里常常因为忽略了n≥2的条件而出错，即由an＝Sn－Sn－1求得an时的n是从2开始的自然数，否则会出现当n＝1时，Sn－1＝S0，而与前n项和定义矛盾．可见an＝Sn－Sn－1所确定的an，当n＝1时的a1与S1相等时，an才是通项公式，否则要用分段函数表示为【例2】已知数

9、列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2)．(1)解：∵a1＝1，∴a2＝3＋1＝4，a3＝32＋4＝13.(2)证明：由已知an－an－1＝3n－1，令n分别取2,3,4，…，n得a2－a1＝31，a3－a2＝32，a4－a3＝33，…an－an－1＝3n－1，方法点评：如果给出数列{an}的递推公式为an＝an－1＋f(n)型时，并且{f(n)}容易求和，这时可采用迭加法．即an＝n(n＋1)．当n＝1时，a1＝2适合上式．故an＝n(n＋1)(n∈N*)．方法点评：根据已知条件构造一个与an有关的新的数列，通过新数列通项公

10、式的求解求得{an}的通项公式．新的数列往往是等差数列或是等比数列．例如形如an＝pan－1＋q(p，q为常数)的形式，往往变为an－λ＝p(an－1－λ)，构成等比数列．求an－λ通项公式，再求an.题型二　数列求和数列求和问题，是历年高考重点考查的内容之一，当然最基本的还是等差、等比数列的求和，直接利用前n项和公式来解决，我们一般称之为公式法．在此基础上，对于一些特殊的数列．我们有如下几种常用的求和方法：1．分组法：若数列{an}的通项公式形如an＝bn＋cn(也可是多项之和)，而数列{bn}，{cn}是等差或等比数列，那么，数列{an}的

11、前n项和不就迎刃而解了吗！2．错位相减法：若数列{an}是通项公式形如an＝bn·cn，而{bn}是等差数列，{cn}是等比数列，则可采用此法.3．并项法：一般用于摆动数列的求和问题．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项；常见的拆项公式有：5．倒序相加法将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和，它是等差数列求和公式的推广．以上是我们常用的几种求和方法，而每一种方法各有其适合的数列，观察通项公式的特点，是正确选用求和方法的关键．【例5

12、】等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值