第2章 连续时间系统时域分析1

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1、第2章连续时间系统时域分析主要内容:1、微分方程式的建立与求解2、起始点的跳变(从0-到0+)3、零输入响应与零状态响应4、冲激响应与阶跃响应5、卷积及其性质SIGNALSANDSYSTEMS◇鲁东大学电子与电气工程学院本章内容特点：1、以电路分析、高等数学、工程数学等先修课程为基础；理论、提高与应用之间比较难把握和处理；2、系统响应的时域求解、计算过程比较繁琐；3、对冲激函数的理解和应用，需要灵活掌握。SIGNALSANDSYSTEMS◇鲁东大学电子与电气工程学院◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS2.1引言2.1引言分析过程中不经过任何变

2、换，直接求解系统的微分（积分）方程，所涉及的函数的变量都是时间t，称为时域分析方法（time-domainmethod）。系统分析的两个主要任务:（1）建立数学模型（线性微分方程）（2）分析信号通过系统产生的响应（求解线性微分方程）系统数学模型的时域表示：（1）输入/输出描述——一元n阶微分方程（2）状态变量描述——n元联立一阶微分方程◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS2.2微分方程式的建立与求解2.2微分方程式的建立与求解连续时间系统种类很多，其描述的工具都可用微分方程。对于电系统，依据是电网络的两个约束特性：•元件特性约束：即表征元件特

3、性的关系式。例如二端元件电阻、电感、电容各自的电压与电流的关系等。•网络拓扑约束：由网络结构决定的电压、电流约束关系。以基尔霍夫电压定律(KVL)和基尔霍夫电流定律(KCL)表示。1.微分方程式的建立（1）元件端口的电压与电流约束关系电网络的两个约束特性：C微分方程式的建立方法——连续时间系统数学模型◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS2.2微分方程式的建立与求解◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS（2）各电路的电流、电压约束关系（KVL、KCL）电网络的两个约束特性：2.2微分方程式的建立与求解例1：如右图所示RL

4、C电路，求电阻R2两端电压y(t)与输入电压f(t)之间的关系。解：设电路中两回路电流分别为i1(t)和i2(t)。根据KVL列出回路方程为：LCR2f(t)回路（1）LR1f(t)回路（2）利用可得到将(1)(2)整理得到：（1）（2）◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS2.2微分方程式的建立与求解◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS2.2微分方程式的建立与求解例2：如右图所示的一机械位移系统，质量为m的物体由弹簧牵引，另一端固定在墙壁。物体与地面摩擦系数为f，弹簧系数为k，外加牵引力为FS(t)。求FS(t)与物

5、体运动速度v(t)的关系。解：弹簧拉力：摩擦力：运动物体的惯性力：整个系统的力是平衡的：化简得：◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS2.2微分方程式的建立与求解说明：对比例题1、2可以看出，虽然是两个不同性质的系统，但却具有相同的数学模型。如果组成系统的元件都是参数恒定的线性元件，则构成的系统是线性时不变系统，体现在方程形式上是一线性微分方程。例题1：例题2：◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS微分方程式的求解方法经典法:即时域分析法，以前电路分析课里已经讨论过。但对于含有冲激函数时的情况，需特别处理。双零法:零输入

6、——可利用经典法求零状态——利用卷积积分法求解变换域法:将时间变量变换成其它形式的变量求解2.2微分方程式的建立与求解n阶常系数微分方程的求解法thesolutionmethodforconstant-coefficientdifferenceequationofNth-order微分方程求解时域分析法（经典法）变换域法（拉普拉斯变换法）◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS2.2微分方程式的建立与求解全响应=齐次方程通解+非齐次方程特解（自由响应）（受迫响应）全响应=零输入响应+零状态响应（解齐次方程）（叠加积分法）卷积，杜阿美尔积分例3：对

7、于一个线性系统，其激励信号x(t)与响应函数y(t)之间的关系，可用下列形式的微分方程式来描述。上式就是一个常系数n阶线性常微分方程。2.微分方程式的求解方法——经典时域分析方法◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS2.2微分方程式的建立与求解上方程的完全解由两部分组成，即齐次解和特解。齐次解应满足齐次微分方程：特征方程为◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS2.2微分方程式的建立与求解齐次解的基本形式为，将其代入上式得（1）当特征根为不等单实根，微分方程的齐次解为固有响应(自由响应)固有频率(自由频率