数学系学年论文

《数学系学年论文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、论文提要极限是高等数学中最重要的概念之一，也是研究变量数学的重要工具和分析方法，同时又是高等数学的主要运算一一微分法和积分法的理论基础。其题型多变，技巧性强，方法灵活。木文论述了求极限的不同方法，介绍了求极限的一些技巧和一些注意事项。木文论述的求极限的方法冇：利用极限的四则运算法则，利用函数的连续性求极限，利用无穷小的性质（特别是利用无穷小量与有界最之乘积仍是无穷小最的性质），利用等价小等价代换求极限，利用两个重要的极限，利用泰勒公式求极限，利用定积分定义及性质求极限，利丿IJ两个准则求数列极限，利

2、丿IJ级数收敛的必要条件求极限，川洛比达法则求未定式的极限，应用斯笃兹定理求极限等，以上方法是解决极限问题的主要手段.求极限的方法和一些技巧摘要：极限是高等数学中最重要的概念之一，也是研究变量数学的重要工具和分析方法，同时又是高等数学的主要运算——微分法和积分法的理论基础。其题型多变，技巧性强，方法灵活。本文论述了求极限的不同方法，介绍了求极限的一些技巧和一些注意事项。关键词：求极限方法技巧函数数列极限是一种重要的思想和方法。而求极限是高等数学教学中授基本的问题，也是学生必备的基本技能。卜•面总结求

3、极限的若干方法和技巧。一、利用极限的四则运算法则极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所有函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者方能利用极限四则运算法则求之。不满足条件者，不能肓接利用极限四则运算法则求之。但是，并非不满足极限四则运算法则条件的函数就没冇极限，而是盂将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求对函数进行恒等变形吋,通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。x3

4、-x2-16x-20求极限塑5+讼+12松j店一41.(x3-3x2-10x)+(2x2-6x-20)解：原式J凹2Z+5x2+6x)+(2x2+10x+12)_1.(x+2)(x?-3x-10)XT-2(x+2)(x2+5x+6)lim(x2~3x~10)xt—2(x2+5x+6)(x-5)(x+2)xX-2(x+2)(x+3)例2求极限limj壽(m>nGN)x->l1一px'z解：令仮，则当XT1时，tTl,于是l-tmdm(1一1)(1+1+卩+・・・+评-1)_mxt1(l-t)(l+t+

5、t2+-+tn-1)—n二、利用函数的连续性求极限定理1设函数f(x)在点X。处连续，于是limf(x)=f(x0)XT。例3求limln^!2Cos2x)解:原式=limln(2Cos2x)=ln2・Cos2•中=0三、利用无穷小的性质1、利用无穷小量与冇界量Z乘积仍是无穷小量的性质例4求极限limx?sin-xtOX解：因为x->1吋，X?是无穷小量，JzLsintl,所以Xlimx2sin-=0xtOx2、利用等价小等价代换求极限利用等价无穷小代换定理求函数极限时，一般只在以乘除形式岀现时使用

6、。若以和或差形式出现时，不要轻易代换，因为经此代换后，往往会改变无穷小之比的阶数。要用好等价无穷小代换定理，必须熟记一些常用的等价无穷小，比如xt1时，有如下等价无穷小：+ax〜1+-xx〜sinx〜tanx〜arcsinx〜arctmnx〜e*—1〜ln(l+x).1—cosx〜fx?n2利用等价无穷小量代换求极限卿tanx—sinxsinx3解:rtl于tanx-sinx=(1—cosx),而sinx〜x,1—cosx〜y(x->0),sinx3〜x?(x〜0)Wrtanx一sinx,・1X2x

7、32四、利用两个重要的极限，泰勒公式，洛比达法则及两个准则求极限1、利用两个垂要极限定理2第一个重要极限】・sinx々lim=1.x->0x应用此重要极限时，必须同时满足两个条件：(1)分子、分母为无穷小，即极限为0；(2)分子上去正弦的角必须与分母一样.解：原式=恤血。勺=1.X->TTH-X定理3笫二个重要极限：/l、n丄lim(1+-)=e,lim(l+x)x=en->oo/x->0应用此重要极限时,必须同时满足四个条件:(1)带有T；(2)中间是“+”号(3)“+”号后面跟无穷小量；(4

8、)指数和“+”号后面的数要互为倒数。例7求极限.lim(1+2x)xXT。]解：原式=lim(1+2x)・(14-2x)2x=e2.x->02、利用泰勒公式求极限。对于求某些不定式的极限來说，利用泰勒公式比使用洛比达法则更为方便，利用泰勒公式求极限，一•般川边克劳林公式形式，并求其皮亚诺型余项。当函数为分式时，一般要求分了分母展成同一阶的迈克劳林公式，再通过比较求出极限。例8求极限lim逼壬空(a>0).xtOx'，解：当xt1时，有a/1+x=1+?+o(x).于是