数学系本科的论文

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1、不定方程的解法新疆师范大学数理信息学院数学与应用数学02-2班作者姓名：牛晶晶指导教师：王迪吉2006年5月28日不定方程的解法牛晶晶新強师范大学数理信息学院数学与应用数学02-2班摘要：本文在介绍二元一次不定方程的解法和多元一次不定方程的解法后。乂简要的介绍处理不定方程的一些基本方法，及儿类应用广泛的方程，还有儿类特殊的不定方程及解法。关键词：不定方程；二元一次；多元一次，解法TheSolutionofIndeterminateEquationClass02-2,Niujingjing,MsthematicsDepartmentSchoolofMath

2、s-physicsandInformationAcience,XinjiangNormalUniversityAbstractilnthispaper.wegiveoutthemethodtoappraisethesolutionofdualityandmanyentityindeterminateequation.Inthesametimes,wesimplyintroducethebasicalsolutionofindeterminateequationandthepopularindeterminateequationKeyword:indete

3、rminateequation;duality;manyentity;solution不定方程的解法1、二元一次不定方程和多元一次不定方程1.1二元一次不定方程的解法ax+by=c<1>（其中a,b,c是整数,且都不是0）有一整数解兀=兀（），y=北；乂设（a,b）-d,a-ci、d,b=b}d则v1>的一切解可以表成x=x（）=y（）+d』（其中/为整数）ax+by=c<>有整数解的充要条件是（a,b）c解法：1.1.1若想求出Q+by=cvl>的解先求ctxJfby=[<2>的解（a,b）=d,ci=a、d,b=bd利用辗转相除法可以得到：（7=

4、如[+斤,0<斤

5、H原方程的解与3x+1ly=45的解完全相同先解llx+3y=l012q31=%p1342Q011=02故1lx+3y=l的解是x=(-l)n_,Qny=(-l)wpn,即x=-l,y=4从而方程3x+lly=45的一组整数解为兀。=45x4=180,儿=45x(-1)=-45由定理，可得方程3兀+11尸45,37x+107y=25的一切整数解为x=180-l”,y=-45+3f(r=0,±l,±2……)例2求方程37兀+107y=25的一切整数解.解107=2x37+3337=1x33+433=8x4+1为用37和107表示107,我们把上述辗转相除过

6、程回代，得1=33-8x4=37-4-8x4=37-9x4=37-9x(37-33)=9x33-8x37=9x(107-2x37)8x37=9x107-26x37=37x(-26)+107x9・由此可知旺=26，刃二9是方程的一组整数解.于是x0=25x(—26)—650,%=25x9=225是方程37x+107y=25的一组整数解.所以原方程的一切整数解为x=-650-107r,y=225+37r(r=0,±1,±2……)1.2多元一次不定方程的解法坷兀+色兀+f=N<3>（其中坷宀，“,N都是整数）有整数解的充要条件是（4®，……g,N）N解法：1

7、.2.1（4卫2）=〃2，（〃2，。3）=〃3,，（〃“一1，色）=〃“若d“IN则有解1.2.2作方程吋+a2x2=d2t2仏乙+。3兀3=〃3（3<4><2^-2+^-lVl=1.2.3首先利用二元一次方程得解法依次求出<4〉的解，依次代入得岀v3>得解，最终得出多元一次不定方程的一切解.17例3把乂写成分母两两互质的既约分数60解：—=-+^-+-,即20x+15y+12z=1760345v(20,15)=5,(5,12)=1,(r=0,±1,±220尢+15y=5/<5>5/+12z=17v6>解<6>则先解12z+5r=1得：q、=2,%=2,

8、=5,Q2=2(u=0,±1,±2)z=—34—5ut—85+12ti解v5>则