函数周期性研究

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1、函数周期性研究(附详细证明)内容简介一:有关周期性的讨论二:由对称性得:11周期性的常用结论三:函数对称性的其它讨论四.重要结论五.练习［结论1］若函数/(%)同时关于直线x=a,x=b对称(a

2、周期一:有关周期性的讨论设。为非零常数，若对于/(X)定义域内的任意兀恒有下列条件Z—成立(2)/U+60=-/(%)⑶f(x+a)=17w=>T=2anT=2a⑷/(兀+Q)=/(x)+l/U)-l以上函数/(x)是周期函数，它们的周期都是2一下面分别给予证叽=>/((X+a)-a)=/((x+a)+a)则有f(x)=f(x+2a)所以门兀)的周期为T=2a(2)/U+fO=-/(%)迭代递推得=>/(兀)=_(_/(兀+a+d))fM=/(x+2°)所以/(兀)的周期为T=2a⑶f(x+a)=]/(兀+Q)迭代递推得fM=j/(

3、(X+d)+d)/(x)=/(x+2rz)所以/⑴的周期为T=2a⑷f(x+a)==>/U)=1/(兀+d)迭代推理得/W=1/((x+d)+d)f(x)=f(x+2a)所以于(力的周期为T=2a⑸/(兀+a)=/(Q+1/W-1.f(x+d)+l.f(x+d)—l迭代推理得f(x)=/((x+d)+d)+l

4、]f((x+a)+a)-l/((x+d)+d)+l]f((x+a)+a)-lf(x+2a)+ltf(x+2a)-1/(x+2d)+li/(x+2。)一1化简得f(x)=f(x+2°)所以f(x)的周期为T=2a二:由对称性得出

5、周期性的常用结论［结论1］若函数/(x)IHJ时关于直线x=x=b对称(a+(a—兀))=f(a-(a-兀))=>/(x)=/(2tz-x)同理/(b+x)=f(b一x)=>/(%)=/(2/?-x)所以有f(2a-x)=f(2b-x)=>/(2a-(2a-x))=f(2b-(2a-兀))=>f(x)=f(x+2(b-a))所以/(兀)的周期为T=2(b-a)[结论2]若函数/(x)同时关于点(a,

6、0),(仇0)对称(a/(a+(Q一O)=-f(a-(a-x))=>f(x)=-f(2a-x)同理由f(b+兀)=-f(b一x)=>/(x)=-/(2/?-x)于是有_/(2a_兀)=_/(2b_x)f(2a-(la-x))=f(2b-(2°-x)/(x)=f(x+2(b-a))所以/(x)的周期为T=2(b-a)[结论3]若函数/(兀)同时关于直线无=4对称，又关于点(仇0)对称(a

7、)@工0)则函数于(兀)的周期T=4(/?—a)设:f(a+x)=f(a一x),f(b+x)=-f(b一x)证明:/(a+x)=f(a-x)a+(a一兀))=兀))=>f(x)=f(2a-x)f(b^x)=-f(b-x)^f(b+(b-x))=-f(b-(b-x))=>/(%)=-/(2Z?-x)于是有f(2a-兀)=~f(2b-x)=>f(2a—(2a-x)=—f(2b_(2a_x))nf(x)=-f(x-^2(b-a))迭代推理/(x)=-(-/[(x+2(b—a))+2(b-a)]/(x)=/(x+40一a))所以.f(x)的

8、周期为T=4(b—a)三:函数对称性的其它讨论f(x)若f(a-x)二f(b+x)则f(x)关于x=a"对称2f(x)若f(a・x)+f(a+x)=2b则f(x)关于点(a,b)对称f(x)若f(a+x)=f(a・x)则f(x)关于肓线x=a对称f(x)若f(a+x)=-f(b-x)则f(x)关于点(°+",0)为小心对称2f(x)若f(a+x)=・f(a・x)则f(x)关于点(a,0)为中心对称四.重要结论1、=+则y=/(x)是以T=a为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0则f(x)为周期

9、两数且2a是它的一个周期。3、若函数/(x+6z)=/(x-^),则/&)是以T=2a为周期的周期函数4、y二f(x)满足并x+a丿二一^(a>0),则/W为周期函数且2a是它的一个周期。5、若函数尸/W满足f(x+a)=--(a>0