函数周期性专题

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1、(_)［応识统谡】,・1.周期函数的定义：对于/(兀)定义域内的每一个X,都存在非零常数T,使得/(x+T)=/(x)恒成立，则称函数/(兀)具有周期性，T叫做/(兀)的一个周期，则M(keZ.k^O)也是/⑴的周期,所有周期中的最小正数叫/(兀)的最小正周期.2•几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y=f(x)满足对定义域内任一实数兀(其中d为常数)，1)/(%)=/(x+tz),则y=/(x)是以T=a为周期的周期函数；2)/(x+q)=-/(x),则是以T=2a为周期的周期函数；3)/(%+6z

2、)=^—(^^0),则/(兀)是以T=2a为周期的周期函数;Jx)4)若函数❻)是偶函数，冃/(x+d)=/(d-兀)，则/(x)是以T=2a为周期的周期函数;5)若函数f(x)是奇函数，且/(x+q)=/(q-x),则/&)是以T=4a为周期的周期函数;3.对称性：(1)函数关于原点对称即奇函数:f(-x)=-/(x)(2)函数关于y对称即偶函数：/(-%)=/(%)(3)函数关于直线兀=。对称：f(x+a)=f(a-x)(二)典例今新;例1.(安徽卷)函数/⑴对于任意实数兀满足条件/(%+2)=-1-,若

3、/(1)=-5,则fx)/(•几5))=⑵已知定义在/?上的奇函数/(x)满足/(%+2)=-/(%),则/⑹的值为例2：设.f(x)是定义在/?上以6为周期的函数，.广⑴在(0,3)内单调递减,且y=/(x)的图像关于直线兀=3对称,则下面正确的结论是A/(1.5)

4、为/(x)例4.已知/(兀)是定义在实数集/?上的函数，满足/U+2)=-/(%),且x6［0,2］时,f(x)=2x-x2.(1)求兀引-2,0］时，/⑴的表达式；(2)证明/(兀)是/?上的奇函数.例5./(%)是定义域在R上的奇函数，且其图像关于直线x=^对称,则/⑴+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)=—f+兀(x<0)例6已知/(力=.则/(-20⑹+/(-20⑸+/(-20⑷+・・・+/(2015)+/(2016卜-x2+x(x>0)三，【观国提爲】1.设函数/(x)(xe/?)是以3为周期的奇

5、函数，且/(l)>l,/(2)=tz,则()A.a>2B.a<_2C.a>lD・a<-12.(2006山东)己知定义在R上的奇函数/U)满足/t"刃二一/U),则,(10)的值为()A.-1B.0C.1D.23.函数f(x)是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数•若fg在［一1,0］上是减函数，那么f(力在［2,3］上是()A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函4.已知定义在R上的函数/(兀)是偶函数，对兀wR都

6、A.2B・4C.-2D.-45.若已知/(*)是/?上的奇函数，且满足/(x+4)=/(%),当xe(0,2)时，f(x)=2x2,则/⑺等于A.-2B.2C.-98D.986.已知定义在/?上的函数/(兀)满足/(%)=-/兀+专，且/(-2)=3,则/(2014)=乙)7•设偶函数/(兀)对任意xeR,都有f(x+3)=，且当兀可-3,-2］时,/⑴/(x)=2x,则/(113.5)=D.8.已知/(x)是定义在/?上的奇函数，满足/(%+2)=-/(%)，且xe［0,2］时,f(x)=2x-x2.(1)求

7、证：/(兀)是周期函数；⑵当xe［2,4］时，求/(兀)的表达式；(3)计算/(I)+/(2)+/⑶+…+/(2013)•四，【裸后條习】1、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)二一f(x),则f(6)的值为()A.—1B・0C・1D・222、设/(x)定义域为R,且对任意实数x,/(x+3)=恒成立，/(x)在(0,3)内单调递/O)减，11该函数的图象关于直线x二3对称，则下面正确的结论是()A、/(1.5)

8、)2B.a<-2C.a>1D.a<-l4、定义域在/?的函数/(兀)既是的偶函数，又关于兀=1对称，若/(兀)在上是减函数，那么/(X)在［2,3］上是()A.增函数减函数C.先增后减函数D先减后增函数5、/(兀)