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1、数学专题（7）探索性问题研究探索性问题是指那些题目条件不完备、结论不明确、或者答案不唯一，给学生留有较犬探索余地的试题.这一类问题立意于对发散思维能力的培养和考察，具有开放性，解法活、形式新，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分考生的数学素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能，因而受到各方面的重视，近年来己成为高考试题的一个新亮点.探索性问题一般有四类：（1）探索条件的开放性问题；（2）探索结论的开放性问题；（3）探索规律（或策略）的问题.（4）探索是否存在型的问题一、探索条件型这类问题的基木特征是：针对一个结论，条件
2、未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程屮，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，谋将必要条件当作充分条件，应引起注意。例1.设函数/⑴二sin2兀諾了（兀+/）是偶函数，则t的一个可能值是o例2.某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数2158302002501546767457065280行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数12462010
3、2935891157651670436若用同一行业屮应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是A、计算机行业好于化工行业C、机械行业最紧张B、建筑行业好于物流行业D、营销行业比贸易行业紧张例3•若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。设｛%｝是公比为q的无穷等比数列，下列血｝的四组量屮，一定能成为该数列“基木量”的是第组。(写出所有符合要求的组号)。%1Si与S2;②a2与S3;③ai与an;④q与其中n为大于1的整数，Sn为&“｝的前n项和。二、探索结论型这类问题的基木特征是：有条件而无结论
4、或结论的正确与否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。例4.设代方是定义域为斤的一个函数，给岀下列五个论断：%1fx)的值域为R；%1fd)是斤上的单调递减函数；%1代力是奇函数；%1f(x)在任意区间[$,b]($<方)上的最大值为f｛a),最小值为且f｛a)>/(/?)；%1f(x)冇反函数.以其中某一论断为条件，另一论断为结论(例如：⑤n①)，至少写出你认为止确的三个命题:•例5・已知Q,0是实数，给出下列四个
5、论断:(1)q+0=q+0；(2)a-P<<7+/?
6、；(3)a>2>/2,
7、/?
8、>2^2；(4)q+0
9、〉5以其中的两个论断为条件，其余两个论断为结论，写出你认为止确的一个命题..例6.若四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是止四面体，则其体积的值是（只需写出一个可能的值）.三、探索规律型这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论。解决这类问题的基本策略是：通常需耍研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高。X21111113,51
10、1117,9,11,13111115,17,19,…，29例7.已知函数/心市那么门）+传+/（2）+心）+用）+街）+/（4）=例8.把数列的所有数按照从大到小，左大右小的原则I2n-1J写成如右图所示的数表，第k行有个数，第R行的第s个数（从左数起）记为A（k.sY则丄这个数可记为A.'72009例9.已知三个向量万、方、己，一其屮每两个之间的夹角为120°，若丨刁丨=3,歸I=2,IcI=1,则万用5、0表示为.（1）求证:A'F丄C'E（2）当三棱锥B•-BEF的体积取得最大值时，求二而角B'-EF-B的大小（结果用反三角函数表示）^'
11、JH.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家、杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角屮蕴藏了许多优美的规律。下图是一个11阶杨辉三角:（1）求第20行中从左到右的第4个数；2（2）若第n行中从左到右第14与第15个数的比为三,3求n的值；（3）若n阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和;tr行行行行行行行行行offlff01234567891—«第第第第第第第I2J…I33I••…I4.6*I-1$1010$I61520154J721353217J826%7056288MIMFI第2弭畀—第4嶄列M5
12、MFI«••••••••••••••••••••••••••6•-第7•列—M8MW•第伽跆0斜列MII•••912•列I93684126126M36
