导数及其运用课堂教学学案--111变化率问题

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1、1.1.1变化率问题导学案学习目标：1理解平均变化率的概念.2.了解平均变化率的儿何意义.3.会求函数在某点处附近的平均变化率.学习重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.学习难点：平均变化率的概念.一、知识链接预习内容：问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越來越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？气球的体积V（单位：厶）与半径厂（单位:dm）Z间的函数关系是V（r）=-^如果将半径r表示为体积V的函数，那么r（V）=3—,在吹气球问题

2、屮，当空气容量V3V4龙从0増加到1UI寸，气球的平均膨胀率为,当空气容量V从1L增加到2UI寸，气球的平均膨胀率为,当空气容量从V.增加到乞时,气球的平均膨胀率为问题2高台跳水在高台跳水运动小，，运动员相对于水面的高度力（单位：加）与起跳后的时间f（单位：s）存在函数关系/?（/）=-4.9r2+6.5/+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述具运动状态？在05/50.5这段时间里，v=在1GS2这段吋间里，v=问题3平均变化率己知函数/&）,则变化率可用式子，此式称之为函数/（兀）从州到兀2•习惯

3、上用心表7jx2—X,,即Ar二,口J把2看做是相对丁"X］的一'爪“增量”，可用坷+心代替兀2,类似有纣⑴=，于是，平均变化率可以表示为提出疑惑同学们，通过你的口主学习，你述有哪些疑惑，谙把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容二、学习过程问题1气球膨胀率问题：气球的体积孑（单位与半径厂（单位：呦之间的函数关系是.如果将半径r表示为体积V的函数，那么.（1）当V从0增加到1时,气球半径增加了•气球的平均膨胀率为.（2）当V从1增加到2吋，气球半径增加了.气球的平均膨胀率为.叮以看出，随着气球体积逐渐増人，它的平均膨胀率

4、逐渐变小了.思考：当空气容量从％增加到仏时,气球的平均膨胀率是多少？问题2高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在怎样的函数关系？在鬲台跳水运动中，运动员相对于水而的高度力（单位：刃）与起跳后的时间广（单位：s）存在函数关系）如何计算运动员的平均速度？并分别计算0WtW0.5,1WIW2,1.8WtW2,2WtW2.2,时间段里的平均速度.思考计算：05TS0.5和1GS2的平均速度y在OSf50.5这段时间里，.；在1GS2这段时间里，.探究：计算运动员在

5、0GS竺这段时间里的平均速度，并思考以下问题:49⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数力⑺「4.9皿也的图像，结合图形可知，临）訥。），所以.虽然运动员在05t5——这段时间里的平均速度为0（5/m）,但实际情况是运动员仍然49运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.（1）计算和思考，展开讨论;（2）说出白己的发现，并初步修正到最终的结论上.（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状

6、态.②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；二平均变化率概念：1.上述问题中的变化率可用式子，（兀2）一/（兀J表示,称为函数f{x）从山到X2的平均变化率2•若设Ax=x2-Xj,A/=/（x2）_/（xi）（这里Ax看作是对于的一个“增量”可用%1+Ar代替X2,同样Af=Ay=/（x2）-/（%!））3.则平均变化率为型=塹=.Ax2思考：观察函数厂匕）的图彖平均变化率塑=®2）-心）表示什么?心x2-X}（1）一起讨论、分析，得出结果；（2）计算平均变化率的步骤：①求白变最的增最△x=x2-x.；②

7、求函数的增量Af=f（x2）-f（x.）:③求平均变化率型二如匕如Axx.-X注意：①Ax是一个整体符号，而不是A-Ljx相乘;(§)X2=X1+AX；③△仁Ay=y2-yi；%1.典例分析例1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-l,-2)及临近一点3(-1+心2+Ay),则Ar_解：例2.求y=x2在x=附近的平均变化率。解：%1.当堂检测1、函数f(x)=x2在区间［-1,3］上的平均变化率是()A、4B、2C、一D、一441.物体按照s&)=3#+卄4的规律作玄线运动，求在4s附近的平均变化率.2

8、.过曲线尸f(W上两点P(l,1)和Q(1+Ajr,1+Ay)作曲线的割线,求出当△E).1时割线的斜率.1.质点运动规律为5=/2+3,则在时间(3,3+Ar)中相应的平均速度为四、课堂小结反思总结：1、平均变化率的概念2、如何求函数在某点附近的平均变化率变化率问题课后作业1.设函数y=/(x)，当自变量乂由兀。改变到兀。+心时，函数值的改变