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《1.1变化率问题及其导数应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.1变化率问题及其导数概念导数及其应用研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．导数研究的问题变化率问题微积分主要与四类问题的处理相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。1.1.1变化率问题问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单
2、位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么我们来分析一下:当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为显然0.62>0.16问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?思考：一般地：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+
3、6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?请计算hto请计算：htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10平均变化率定义:若设Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)则平均变化率为这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2同样Δy=f(x2)-f(x1)上述问题中的变化率可用式子表示称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率平均变化率的几何意义:观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率练习:1.甲用5年
4、时间挣到10万元,乙用5个月时间挣到2万元,如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?2.已知函数f(x)=2x+1,g(x)=–2x,分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率.(1)[–3,–1];(2)[0,5].做两个题吧!3、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=()A3B3Δx-(Δx)2C3-(Δx)2D3-ΔxD4、求y=x2在x=x0附近的平均速度。2x0+Δx小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1);(2)
5、计算平均变化率再看问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.hto瞬时速度.在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.又如何求瞬时速度呢?我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.如何求（比如，t=2时的）瞬时速度？ 通过列表看出平均速度的变化趋势：当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?h(t)=-4.9t2+6.5t+10.瞬时速度我们用表示“当t=2,Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速
6、度?局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作或,即练习：问题:求函数y=3x2在x=1处的导数.分析：先求再求再求Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:求函数的改变量2.求平均变化率3.求值一差、二化、三极限导数的几何意义:我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.P
7、Qoxyy=f(x)割线切线T设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.要注意:曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断和求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.PQoxyy=f(x)割线切线T例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-
8、111OjMDyDx因此
