绝对值三角不等式课件(人教A选修4-5)

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1、[读教材·填要点]1．绝对值的几何意义(1)实数a的绝对值

2、a

3、表示数轴上坐标为的点A到的距离．(2)对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A、B，那么

4、a－b

5、的几何意义是数轴上A，B两点之间的，即线段AB的．原点距离长度a2．绝对值三角不等式(1)如果a，b是实数，则

6、a＋b

7、≤

8、a

9、＋

10、b

11、，当且仅当时，等号成立．(2)如果把上面的绝对值三角不等式中的实数a，b换成向量a，b，则它的几何意义是．3．三个实数的绝对值不等式如果a，b，c是实数，那么

12、a－c

13、≤

14、a－b

15、＋

16、b－c

17、，当且仅当时，等号成立．ab≥0三角形两边之和大于第三边(a－b)(b－c)≥0[小问题

18、·大思维]1．

19、a＋b

20、与

21、a

22、－

23、b

24、，

25、a－b

26、与

27、a

28、－

29、b

30、及

31、a

32、＋

33、b

34、分别具有什么关系？提示：

35、a

36、－

37、b

38、≤

39、a＋b

40、，

41、a

42、－

43、b

44、≤

45、a－b

46、≤

47、a

48、＋

49、b

50、.2．不等式

51、a

52、－

53、b

54、≤

55、a±b

56、≤

57、a

58、＋

59、b

60、中“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式

61、a

62、－

63、b

64、≤

65、a＋b

66、≤

67、a

68、＋

69、b

70、，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0，且

71、a

72、≥

73、b

74、；不等式

75、a

76、－

77、b

78、≤

79、a－b

80、≤

81、a

82、＋

83、b

84、，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且

85、a

86、≥

87、b

88、.3．绝对值不等式

89、a－c

90、≤

91、a－b

92、＋

93、b－c

94、的几何解释是

95、什么？提示：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，

96、a－c

97、＝

98、a－b

99、＋

100、b－c

101、；当点B不在点A，C之间时，

102、a－c

103、＜

104、a－b

105、＋

106、b－c

107、.[研一题][答案](1)A(2)

108、a

109、＞

110、b[悟一法](1)定理

111、a

112、－

113、b

114、＜

115、a±b

116、＜

117、a

118、＋

119、b

120、的几何意义是：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边．(2)对

121、a

122、－

123、b

124、≤

125、a±b

126、≤

127、a

128、＋

129、b

130、的诠释：定理的构成部分特征大小关系等号成立的条件左端

131、a

132、－

133、b

134、可能是负的≤中间部分中间部分为

135、a＋b

136、时，ab≤0，且

137、a

138、≥

139、b

140、时，左边的等号成立；中间部分为

141、a－b

142、时，

143、ab≥0，且

144、a

145、≥

146、b

147、时，左边等号成立．定理的构成部分特征大小关系等号成立的条件中间部分

148、a±b

149、肯定是非负的≥左端≤右端用“＋”连接时，ab≥0，右端取等号，ab≤0，且

150、a

151、≥

152、b

153、时，左端取等号；用“－”连接时，ab≥0，且

154、a

155、≥

156、b

157、时，左端取等号，ab≤0，右端取等号.右端

158、a

159、＋

160、b

161、是非负的≥中间部分中间部分为

162、a＋b

163、时，ab≥0，等号成立；中间部分为

164、a－b

165、时，ab≤0，等号成立.[通一类]1．(1)若x＜5，n∈N＋，则下列不等式：答案：(1)④(2)D[研一题][精讲详析]本题的特点是绝对值符号较多，直接去掉绝对值符号较困难．从所证的不等式可以看出，不等式

166、的左边为非负值，而不等式右边的符号不定．如果不等式右边非正，这时不等式显然成立；当不等式右边为正值时，有

167、a

168、＞

169、b

170、.所以本题应从讨论

171、a

172、与

173、b

174、的大小入手，结合作差比较法，可以使问题得以解决．[悟一法]含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：

175、

176、a

177、－

178、b

179、

180、≤

181、a±b

182、≤

183、a

184、＋

185、b

186、，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．[通一类]2．若f(x)＝

187、x2－x＋c(c为常数)，

188、x－a

189、＜1，求证：

190、f(x)－f(a)

191、＜2(

192、a

193、＋1)．证明：

194、f(x)－f(a)

195、＝

196、(x2－x＋c)－(a2－a＋c)

197、＝

198、x2－x－a2＋a

199、＝

200、(x－a)(x＋a－1)

201、＝

202、x－a

203、·

204、x＋a－1

205、＜

206、x＋a－1

207、＝

208、(x－a)＋(2a－1)

209、≤

210、x－a

211、＋

212、2a－1

213、≤

214、x－a

215、＋

216、2a

217、＋1<1＋2

218、a

219、＋1＝2(

220、a

221、＋1).[研一题][例3]已知a，b∈R，且

222、a＋b＋1

223、≤1，

224、a＋2b＋4

225、≤4.求

226、a

227、＋

228、b

229、的最大值．[精讲详析]本题考查绝对值三角不等式的应用．解答本题可先求出

230、a＋b

231、，

232、a－b

233、的最值，再通过

234、a

235、＋

236、b

237、与

238、它们相等时进行讨论求出最大值．

239、a＋b

240、＝

241、(a＋b＋1)－1

242、≤

243、a＋b＋1

244、＋

245、1－1

246、≤2，

247、a－b

248、＝

249、3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5

250、[悟一法](1)求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，本题直接求

251、a

252、＋

253、b

254、的最大值比较困难，可采用

255、a＋b

256、，

257、a－b

258、的最值，及ab≥0时，

259、a

260、＋

261、b

262、＝

263、a＋b

264、，ab＜0时，

265、a

266、＋

267、b

268、＝

269、a－b

270、的定理，达到目的，其巧妙之处令人赞叹不已．(2)求y＝

271、x＋m

272、＋

273、x＋n

274、和y