数学探究性学习

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1、数学探究性学习一一函数一、历史（一）十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书屮，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1637年前后笛卡尔在他的解析儿何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当吋尚未意识到婆提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没冇人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线來研究的。1673年,莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幕”,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何呆。与此同时，牛顿在微积分的讨论屮，使用“流量”来表示变量

2、间的关系。（二）十八世纪1718年约翰•柏努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的两数，并强调函数要用公式来表示。1748年，欧拉在其《无穷分析引论》一廿中把函数定义为：“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。”他把约翰・贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰・贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。1755年，欧拉给岀了另一个定义：“如果某些

3、变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前而这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”（三）十九世纪1821年，柯西从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其屮某一变数的值，其他变数的值可随看而确定时，则将最初的变数叫白变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义屮，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式來表示，这是一个很人的局限。1822年傅里叶发现某些函数町以用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示,从而结束了函数概念是否以

4、唯一一个式了表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。1837年狄利克雷突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出对于在某区间上的每一个确定的x值，y都冇一个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有-数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。等到康托创立的集合论在数学中占有重要地位Z后，维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。（四）现代概

5、念1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”來定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基（Kumowski）于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。1930年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元索y与Z对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）o元素x称为自变量，元素y称为因变量。”（五）函数在中国小文数学书上使用的“函数”一词是转译词.是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学H1895年)一书时,把“function”译成“函数”的.中国

6、古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思.李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数中国古代用天、地、人、物4个字來表示4个不同的未知数或变量.这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x,则该式子叫做x的函数所以“函数”是指公式里含有变量的意思我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》小,意思指的是包含多个未知量的联立--次方程，即所说的线性方程组。二、性质(一)单调性(二)奇偶性(三)周期性(%1)有界性设函数f(x)的定义域为D,数集X包含于D。如果存在数K1,使得f(x)WKl对任一xWX都成立

7、，则称函数f(x)在X上有上界，而K1称为函数f(x)在X上的一个上界。如果存在数K2,使得f(x)2K2对任一xWX都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2称为函数f(x)在X上的一个卜•界。如果存在正数M,使得

8、f(x)

9、WM对任一xGX都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界。函数f(x)在X上冇界的充分必要条件是它在X上既冇上界又冇下界。(%1)连续性在数学中，连续是函数的一种属性。直观上來说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随Z足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出

10、值的一个突然的跳跃其至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数(或