数学分析 第一章 实数集与函数练习题

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1、第一章实数集与函数一、填空题1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________。2．设，，则_______3．函数的定义域是　　　　　　　　　　　　　　　；４．函数的定义域是；５．设，则=；６．函数的周期是；７．把函数分解为简单函数；８．函数的反函数是；９．函数的反函数是；10．设则；11．的定义域是，值域是；12．若，则，；13．若，则；14．设，则的定义域是，，；15．函数的定义域是；16．设的定义域是，则的定义域是；17．设函数则；18．设，则；19．函数的反函数是；20．函数的反函数是；二、

2、选择填空1．点的邻域是区间（　　　）．　　　　　　］［　　　　　（）2．函数的定义域是（　　　）．　　　　　　　　　　　　　　　　　3．设，则的定义域是（）．[4．函数的定义域是（）．　　　　5．函数的定义域是（　　　）．6．函数的定义域是（）．7．若，则（）．　　　　　　　　　　8．，则（）019．如果，则将表示成的函数是（）三、计算题1．试在数轴上表示出下面不等式的解:(1)x(x2-1)>0;(2)

3、x-1

4、<

5、x-3

6、;(3);2．设a与b为已知实数,试用不等式符号(不用绝对值符号)表示下列不等式的

7、解:(1)

8、x-a

9、<

10、x-b

11、;(2)

12、x-a

13、

14、x2-a

15、

16、1-x

17、-x≥0;(2)

18、x+

19、≤6;(3)(x-a)(x-b)(x-c)>0,(a、b、c为常数且a0).6.设函数f(x)

20、=,求f(x+2),f(2x),f(x2),f(f(x)),f()7.试问下列复合函数是由那些些初等函数复合而成:(1)y=(1+x)20;(2)y=(arcsinx2)2;(3)y=lg(1+);(4)y=8.求下列函数的周期:(1)f(x)=cos2x;(2)f(x)=2tg(3x);(3)f(x)=cos+2sin.9.设函数f(x)=,求:f(0),f(-x),f(x+1),f(x+1)f(),,f(x2),f(f(x)).10.已知f()=x+,求f(x).四、证明题1．证明:对任何x∈R,有(1

21、)

22、x-1

23、+

24、x-2

25、≥1;(2)

26、x-1

27、+

28、x-2

29、+

30、x-3

31、≥2.2．设a、b、c为三个任意的实数,证明:你能说明此不等式的几何意义吗?1．设x>0,b>0且a≠b,证明介于1与之间.4．求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证.(1)S={x

32、x2<2};(2)S={x

33、x=n!,n为自然数};(3)S={x

34、x为(0,1)内的无理数};(4)S={x

35、x=1-,n=1,2,…}.5．S为非空有下界数集.证明:infS=ξ∈S的充要条件是ξ=minS.6．设S是非空数集,定义S={x

36、-x∈S}

37、,证明:(1)infS—=-supS;(2)supS—=infS.7．设A、B皆为非空有界数集,定义数集A+B={z

38、z=x+y,x∈A,y∈B}.证明:(1)sup(A+B)=supA+supB;(2)inf(A+B)=infA+infB.8.证明:f(x)=是R上的有界函数.9.证明下列函数在指定区间上的单调性:(1)y=3x-1在(-∞,+∞)内严格递增;(2)y=sinx在上严格递增;(3)y=cocx在[0,π]上严格递减.10.证明:设f(x)为严格单调函数,若f(x1)=f(x2),则x1=x

39、2.11.设f(x)为定义在[-a,a]上的任一函数,证明:(1)F(x)=f(x)+f(-x),x∈[-a,a]为偶函数;(2)G(x)=f(x)-f(-x)x∈[-a,a]为奇函数.(3)f可表示为某个奇函数与某个偶函数之和12.设f(x)、g(x)为定义在D上的有界函数,且f(x)≤g(x),x∈D,证明:(1);(2).13.设f为定义在D上的有界函数,证明:(1);(2)14.证明:函数f(x)=tgx在内可无界函数,但在内任一闭区间[a,b]上有界15.证明:f(x)=x+sinx在(-∞,+∞

40、)内是严格递增函数16.设a,b为实数,证明:(1)max{a,b}=(a+b+

41、a-b

42、);(2)min{a,b}=(a+b-

43、a-b

44、).