在概念教学中反例的应用策略

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1、在概念教学中反例的应用策略哈师大附中闫明欣概念是学习的基础，在高中数学中，有许多的概念，对于某些重要的概念，有时仅从正而给出定义说明还不够，为了加深对这个概念本质属性的理解，往往还需要举出不符合定义的反例，通过正反两方面的比较和鉴别消除容易出现的一些模糊认识.我们在进行数学概念教学时，要根据概念内涵、外延的特征，以及概念间属种、交叉、矛盾、对立等关系，采取灵活多变的反例应用策略.一、当概念的内涵比较丰富时，使用反例来凸显知识的本质属性所谓内涵丰富是指关于概念的本质属性比较多.学生的感知不全面、不精细，理解这类知

2、识时，常常丢掉了新知中部分本质属性，从而产生错误的认识.此时可举反例，帮助学生找回被丢掉的部分本质属性，获得正确知识.例1:棱柱的定义是：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的儿何体叫做棱柱.有很多同学认为此定义叙述太“繁”，提出是否能将棱柱定义为：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱.对于改动是否得当，就要将命题与严密的数学概念对照，辨析出其细微差别，从而可构造反例说明命题的真伪.反例：取4个边长为1的正方形，8个边长为1且有

3、一组对角为60°的菱形纸板，围成一个12面体，如图所示.其屮，四边形ABCD、A]B

4、CQi、AEAJ、CGC】H为正方形，其余各四边形为菱形.例2：曲线与方程：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程y）=0的实数解建立了如下的关系:（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.有些学生不能从曲线方程的必要性和充分性两个方面来完整地理解定义.为了纠正学生在理

5、解定义时所表现出来地思维的片面性，我们以典型的“单位圆方程”为例，通过非同解变形的方法给出两个命题，让学生思考辨别：①因为单位圆上任一点的坐标都满足方程（F+才_1）（兀+y_1）=0,所以此方程是单位圆的方程；②因为以方程^-x2-y=0的解为坐标的点都在单位圆上，所以此方程是单位圆的方程.通过分析，发现命题①中，（2,-1）满足方程，但它不是单位圆上的点（即它是直线兀+y-1=0上的点），所以所给方程不是单位圆的方程；命题②中，点（0,-1）在单位圆上,但它不满足方程（即它是单位圆的下半圆上的点），所以所

6、给方程也不是单位圆的方程.通过对两个反例的剖析，学生对于单位圆的方程，进而对于曲线方程的定义有了更完整的理解.二、当概念的外延不够清晰吋，出示反例明确其外延概念的外延是指具有概念所反映的本质属性的对象，通常来说明概念反映的是哪些事物.人们在提出数学概念或数学命题时，由于认识的局限性，往往不能准确地认识到概念的真实外延，使得认识到的主观外延与命题条件下的真实外延有一定的距离.为了使学生对所学概念加深认识，对以用概念的分类方法即对概念的外延分类，进一步弄清概念和概念间的关系.概念的外延不是无限制的延伸，而是受内涵的

7、约朿与限制.在逻辑学中，定义是明确概念内涵的逻辑方法.当一个概念的外延包含于另一个概念的外延，可适当选取扩大外延的方式来获取反例，从而明确概念的内涵.英国数学哲学家伊姆雷•拉卡托斯曾说：“靠概念扩张进行助探批评的趋势，是数学生长的一种最有效的推动力”.例3：（2000年上海春季高考数学试卷（理）第22题第（2）小题第①题.）规定c：=皿-1”心-加+1），其中X*,m是正整数，且C、1,这是组合数C：（n,m是正整数,且m

8、R,m是正整数）的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由.本题生动直观地给出了C：的发生式定义，问题清楚地提出能否作出满足题意的推广.猜想推广命题为C；1=C；-/w,按照C；”的定义，分析推广命题的形式知，应有xwR,且m,x-m是正整数，这显然不可能.我们将陌生的问题转化熟悉的以后，反例就容易获得.如取x=>/2,m=l,则需无意义.所以性质：C：=C；「不能作满足条件的推广.三、当概念易向邻近概念泛化时，运用反例揭示概念之间关系在数学的知识结构中，相近的或相互联系的知识，学生学习

9、时容易发生混淆，在心理学上称为“痕迹性错误”，这主要是因为旧知识痕迹的影响而发生的错误.概念泛化是指学习概念过程中痕迹性错误的发生过程.此时可通过举反例否定学生的错误认识，澄清相邻概念的区别和联系.例4：区分“函数/（兀）在区间是单调增函数”与“函数/（x）的单调增区间是（m9n）”.它们的内涵相近，学生在学习时，不太注意它们的区别，容易混淆.对于理解函数/（兀）在区间是单调增函数，则