资源描述：
《导数的几何意义及运用解密》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、函数［y=f(x)］在［x=xO］处的导数［f(xO)］的几何意义是曲线在点［xO］的切线斜率，它不仅是导数概念直观化形象化的模型，也是导数作为数学工具加以运用的一个重要途径•把握导数几何意义及运用的常用类型，对于学好导数有着极其重要的意义.本文以列举范例的形式，对导数几何意义及运用加以解密.基础运用一一切线斜率例1设曲线［C：y=x3］,点［P(1,1)］,直线［I：y=-x+l］.(1)求曲线［C］在点［P］处的切线［m］的方程，并求切线［m］与［C］的公共点的坐标；(2)曲线在哪个点处的切线与［I］垂直？解析(1)由［C：y=x3］得曲线［C］在点［P］的切线
2、斜率为［y=3x2x=l=］［3］,依点斜式知切线［m：y-l=3(x-l)］,即［m：y=3x-2］,再由［y=3x-2,y=x3］得，［x3=3x-2］,即［(x-1)2(x+2)=0］,从而［xl=l或x2=-2］.所以切线［m］与［C］的公共点的坐标为［(1,1)和(-2,-8)］.1.设切点为［(xO,x03)］,由［y=3x2］W，［3x02=1］,则［x0=±33］,从而切点为［(33,39)］或［(-33,-39)］.点拨“求切线，定切点”，包括给出的点在或不在已知曲线上两类情况，求切线方程的难点在于分清“过点［(x0,y0)］的切线”与“点［(x0
3、,y0)］处的切线”的差异.突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处：在过点［(x0,y0)］的切线中，点［(x0,y0)］不一定是切点;而点［(x0,y0)］处的切线，必以点［(x0,y0)］为切点，故此时切线的方程才是［y-yO=f(x0)(x-xO)］.引申运用割线斜率例2在下列四个函数中，满足性质：''对于区间［(1,2)］上的任意［xl,x2］(［xlHx2］),［f(xl)-f(x2)A.[f(x)=x]B.[f(x)=lx]C.[f(x)=x2]D.[f(x)=2x]解析[f(xl)-f(x2)答案B点拨函数[y=f(x)]在图象上任意两点[M(a
4、,f(a)),N(b,f(b))］连线的斜率(存在的话)［k=f(b)-f(a)b-a］的取值范围就是函数图象上任意一点切线的斜率(如果存在的话)范围，即导函数的值域，运用这一点，可以解决一些有关割线斜率的棘手问题.拓展运用一一公切线例3已知抛物线［Cl：y=x2+2x］和［C2：y=-x2+a］,如果直线［I］同时是［Cl,C2］的切线,称［I］是［Cl,C2］的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.(1)［a］取什么值时，［Cl,C2］有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若［Cl,C2］有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.解析(1
5、)函数［y=x2+2x］的导数［y=2x+2］,曲线［C1］在点［P(xl,X12+2X1)］的切线方程是：［y-(xl2+2xl)=(2x1+2)(x-xl)］,即［y=(2x1+2)x-xl2.］①同理，函数［y=-x2+a］的导数［y=-2x］,曲线［C2］在点［Q(x2,-x22+a)］的切线方程是［y-(-x22+a)=(-2x2)(x-x2)］,即［y=-2x2x+x22+a.］②如果直线［I］是过［P］和［Q］的公切线，则①和②是同一直线方程.所以[xl+l=-x2,且-xl2=x22+a],消元得[2x12+2x1+1+3=0],若[△二牛4X2(1
6、+a)=0].WJ［a=-12］,解得［xl=-12］,此时点［P］与［Q］重合.即当［a“2］时，［Cl,C2］有且仅有一条公切线.由①得公切线方程为［y=x-14］.(2)证明:由(1)可知，当［a<-12］时，［Cl,C2］有两条公切线.设一条公切线上切点为［P(xl,yl),Q(x2,y2)］,其中［P］在［Cl］±,［Q］在［C2］上，PM[xl+x2=-l],[yl+y2=xl2+2xl+(-x22+a)=xl2+2xl-(xl+1)2+a=a-l.］则线段［PQ］的中点为［(-12,a-12).］同理，［Cl,C2］另一条公切线段［PQ］的中点也
7、是［(-12,a-12)］,所以公切线段［PQ］与［PQ］互相平分.点拨凡遇公切线，先设两切点，然后由导数计算切线斜率，再由点斜式写岀两曲线的切线，最后利用两切线重合列方程组求解.综合运用一一化归转化例4已知［I：y=3x-13］,在抛物线［C：y=x2+x-2］上找一点［P］,使［P］到直线［I］的距离最短并求此最短距离.解析如上图，运用运动变化的观念可知，与已知直线［I］平行且与抛物线［C］相切的直线的切点［P］到直线［I］的距离最短.设切点［P(xO,xO2+xO-2)］,由抛物线［C：y=x2+x-2］得,[y=2x+l],则[2x0+l=3],故[xO
