平面解析几何8-7圆锥曲线的综合问题(理)

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1、重点难点重点：直线与圆锥曲线位置关系的判定，弦长与距离的求法难点：直线与圆锥曲线位置关系的判定、弦长与中点弦问题知识归纳1．(1)直线与圆、椭圆的方程联立后，消去一个未知数得到关于另一个未知数的一元二次方程，可据判别式Δ来讨论交点个数.相交Δ>0直线与圆锥曲线有两个交点相切Δ＝0直线与圆锥曲线有一个切点相离Δ<0直线与圆锥曲线无公共点(2)直线与双曲线、抛物线的方程联立后，消元得到一元二次方程可仿上讨论，但应特别注意：平行于抛物线的轴的直线与抛物线相交，有且仅有一个交点．平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点，但也不是相切．上述两种情形联立方程组消元后，二次项系数为0

2、，即只能得到一个一次方程．一、向量法向量的坐标可以用其起点、终点的坐标表示，因此向量与解析几何保持着天然的联系．通过向量的坐标可以把解析几何的很多问题向量化，利用向量的共线、垂直、夹角、距离等公式巧妙地解决解析几何问题．三、要重视解题过程中思想方法的提炼及解题规律的总结1．方程思想解析几何题大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此直线与圆锥曲线相交的弦长问题常归纳为对方程解的讨论．利用韦达定理进行整体处理，以简化解题运算量．2．函数思想对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线段的长度及a、b、c、e、p之间构成函数关系，函数思想在处理这

3、类问题时就很有效．3．坐标法坐标法是解析几何的基本方法，因此要加强坐标法的训练．4．对称思想由于圆锥曲线和圆都具有对称性质，所以可使分散的条件相对集中，减少一些变量和未知量，简化计算，提高解题速度，促成问题的解决．5．数形结合解析几何是数形结合的曲范，解决解析几何问题应充分利用图形的直观和曲线的几何性质，才能简化解答过程．6．参数思想大多解析几何问题，在解题活动中可先引入适当的参数(如斜率k，点的坐标，圆锥曲线方程中的系数等)，把所研究问题转化为参数的函数或不等式、方程等来解决．[例1]抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0交于A、B两点，点A的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点

4、为F，则

5、FA

6、＋

7、FB

8、等于()A．7B．C．6D．5分析：求

9、FA

10、＋

11、FB

12、的值可利用焦半径求解，∵

13、FA

14、＋

15、FB

16、＝xA＋xB＋p，∴需求p的值和A、B两点横坐标的和，利用点A在两曲线上可求p和a，两方程联立消去y，由根与系数关系可求得xA＋xB.解析：因为抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0交于A、B两点，且点A的坐标为(1,2)，所以把(1,2)分别代入y2＝2px和ax＋y－4＝0得p＝2，a＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，直线方程为2x＋y－4＝0，两方程联立解得点B坐标为(4，－4)，则

17、FA

18、＋

19、FB

20、＝xA＋xB＋p＝1＋4＋2＝7.答案：A已知直线

21、l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线.l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．[例2]已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)．试讨论实数k的取值范围，使得直线l与双曲线有两个公共点；直线l与双曲线有且只有一个公共点；直线l与双曲线没有公共点．解析：由消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)(1)当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程化为2x＝5.故此时方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．如图，交点在双曲线右支上．

22、点评：直线与双曲线有且只有一个公共点时，应考虑直线与双曲线相切和直线与双曲线的渐近线平行两种情形．答案：D已知椭圆的焦点为F1(－3,0)、F2(3,0)，且与直线x－y＋9＝0有公共点，则其中长轴最短的椭圆方程为________．点评：解法1是利用直线与圆有公共点时，Δ≥0求解；解法2利用椭圆的定义作等价转化，要细细揣摩其思想方法，请再练习下题：[例4](2010·湖南)过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A、B两点，A、B在x轴上的正射影分别为D、C.若梯形ABCD的面积为12，则p＝________.答案：2抛物线C：y2＝2px(p>0)与直

23、线l：y＝x＋m相交于A，B两点，线段AB的中点横坐标为5，又抛物线C的焦点到直线l的距离为，则m＝________.[例5]如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？(2)若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？(半个椭圆的面积公式为S＝lh，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果均精确到0.1米)