张量分析及公式

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1、I.2符号与符号称为“Kroneckerdelta”，它的定义是：(I.14)定义表明它对指标和是对称的，即(I.15)的分量集合对应于单位矩阵。例如，在三维空间中：(I.16)利用可以把线元长度平方的公式(I.6)改写成(I.17)这里起了换标的作用，即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其他因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标替换成的另一个指标，而自动消失。这样：类似地有；；(I.18)以及；(I.19)所以，也称为换标符号。符号的定义是：(I.20a)或(I.20b)其中，正序排列是指（l,2.3）及其轮流换位得到的（2.3,l）和（3,1,2），

2、逆序排列是指（3,2,l）及其轮流换位得到的（2,l,3）和（l,3,2）。称为排列符号或置换符号。它共有27个元素，其中只有3个元素为1，3个元素为－1，其余的元素都是0。定义表明对任何两个指标都是反对称的，即：(I.21)当三个指标轮流换位时（相当于指标连续对换两次），的值不变：(I.22)下面举几个常用实例：1．三个互相正交的单位基矢量构成正交标准化基。它具有如下重要性质：（l）每个基矢量的模为1，即·（当=时）（2）不同基矢量互相正交，即·（当时）这两个性质可用统一表示为·(I.23a)（3）当三个基矢量，，构成右手系（见图I-2）时有构成左手系时有上两

3、式可用统一写成(I.23b)其中，,,的正序排列对应右手系，逆序排列对应左手系。图I-22．两个矢量和的点积（I.2a）式可利用（I.23a）式导出：···3．两个矢量的叉积（或称矢量积）可利用（I.23b）式导出：(I.24)其中，，，构成右手系。若交换叉积顺序，注意到，，为左手系，则有：（I.25)叉积的几何意义是“面元矢量”，其大小等于由矢量和构成的平行四边形面积，方向沿该面元的法线方向。4．三个矢量，，的混合积是一个标量，其定义为：··若交换混合积中相邻两个矢量的顺序，混合积的值反号。当，，构成右手系时，混合积表示这三个矢量所构成的平行六面体体积（见图I

4、—3）。若构成左手系，则为体积的负值。利用（I.24）和（I.23a）式有··（I.26)由此可见符号和分别与矢量代数中的点积和叉积有关。（I.23a,b）式是常用的基本公式。5．三阶行列式的展开式为：（I.27a)用排列符号可简洁地表示成（I.27)不难验证，当r，s，t为正序排列时可得（I.27a）的前三项，为逆序排列时则得后三项。(I.27）式中第二个符号的含义是：转置（行与列对换）后行列式的值不变。