专题三 柯西不等式的应用

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1、专题三不等式的证明（柯西不等式）1．下列不等式的证明明过程：①若a，b∈R，则②若x，y∈R，则；③若x∈R，则；④若a，b∈R，ab＜0，则．其中正确的序号是．2．设a，b∈R+，a+b=1，则+的最小值为（）A.2+B.2C.3D.3．已知a＞b＞0，c＜d＜0，则与的大小关系为．4．已知a，b，c∈R，且a+b+c=0，abc＞0，则++的值（）A.小于0B.大于0C.可能是0D.正负不能确定5．若不等式（﹣1）na＜2+对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A.[﹣2，）B.（﹣2，）C.[﹣3，）D.（﹣3，）6．设a，

2、b，c∈（﹣∞，0），则对于a+，b+，c+，下列正确的是①都不大于﹣2②都不小于﹣2③至少有一个不小于﹣2④至少有一个不大于﹣2．7．定义在R上的函数f（x）=mx2+2x+n的值域是[0，+∞），又对满足前面要求的任意实数m，n都有不等式恒成立，则实数a的最大值为（）A.2013B.1C.D.8．已知a、b、c是△ABC的三边长，A=，B=，则（）A.A＞BB.A＜BC.A≥BD.A≤B9．设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（）A.0B.2C.D.试卷第3页，总3页10．设正实数满足,则当取得最大值时，的最大值为（）A．B．C

3、．D．11．（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A.B.C.D.12．用柯西不等式求函数y=的最大值为（）A.B.3C.4D.513．若，则函数的最大值为（）A.B.C.D.14．对任意正数x，y不等式（k﹣）x+ky≥恒成立，则实数k的最小值是（）A.1B.2C.3D.415．已知x2+4y2+kz2=36，且x+y+z的最大值为7，则正数k等于（）A.1B.4C.8D.916．设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z

4、=6，则x+y+z等于（）A.B.C.D.17．已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（）A.2B.2C.2D.318．实数ai（i=1，2，3，4，5，6）满足（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2=1则（a5+a6）﹣（a1+a4）的最大值为（）A.3B.2C.D.119．设a，b，c，x，y，z均为正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则等于(　　)．A.B.C.D.试卷第3页，总3页试卷第3页，总3页本卷由系统自动生成

5、，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1．③、④．【解析】试题分析：依次分析4个命题：a＜0，b＞0时，＜0，故①不正确．当x=，y=时，检验②不正确，利用基本不等式可得③④正确，综合可得答案．解：当a，b∈R且a＜0，b＞0时，＜0，故①不正确．当x=，y=时，lgx和lgy都等于﹣lg2，小于0，故②不正确．∵

6、

7、=

8、x

9、+

10、

11、≥2=4，故③正确．若a，b∈R，ab＜0，则，故④正确．故答案为③、④．点评：本题考查不等式性质的应用，基本不等式的应用，注意考虑特殊情况和基本不等式的使用条件，属于中档题．2．D【解析】试题分析：利用二

12、维形式的柯西不等式求得的最小值为10，可得+的最小值．解：∵a，b∈R+，a+b=1，∴a2+b2=1﹣2ab，又∵=a2+b2+5+2≥6﹣2ab+2=6﹣2ab+2（ab+2）=10，∴+≥，当且仅当=时，等号成立，故+的最小值为，故选：D．点评：本题主要考查利用二维形式的柯西不等式求函数的最小值，属于基础题．3．＜．【解析】试题分析：将两个式子作差、变形、依据条件及不等式的性质判断符号，从而得到结论．解：﹣==．因为a＞b＞0，c＜d＜0，所以，a﹣c＞0，b﹣d＞0，b﹣a＜0，又﹣c＞﹣d＞0，则有﹣ac＞﹣bd，即ac＜bd，

13、则bd﹣ac＞0，所以（b+a）（b﹣a）﹣（bd﹣ac）＜0，答案第7页，总7页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。所以，﹣=＜0，即＜．故答案为＜．点评：本题考查用比较法证明不等式的方法和步骤，将两个式子作差、变形、判断符号，其中，判断符号是解决问题的关键．当然，本题还可采用特殊值法进行比较这两个式子的大小关系．4．A【解析】试题分析：因为a+b+c=0，abc（乘积）是正数，则这三个数中只能有一个正数，另两个为负数．把a+b+c=0变形代入代数式，运用柯西不等式即可判断．解：∵a+b+c=0，abc＞0，∴a，b，c

14、中只能有一个正数，另两个为负数，不妨设a＞0，b＜0，c＜0．由a+b+c=0得a=﹣（b+c）代入得，++=﹣++，∵[（﹣b）+（﹣c）]（）≥4，∴，即，∴≤=＜0，故选A．点评：本题主