第六章+样本及抽样分布

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1、第六章样本及抽样分布第一节引言在概率论中，概率分布通常被假定为已知的，而一切问题的解决均基于已知的分布进行的。但在实际问题中，情况往往并非如此。例6-1第二节总体与样本一、总体与个体二、样本三、小结一、总体与个体1.总体研究对象的全体称为总体.在研究2000名学生的年龄时,这些学生的年龄的全体就构成一个总体,每个学生的年龄就是个体.2.个体构成总体的每个成员称为个体.实例1某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的总体中,个体的总数就是10月份生产的灯泡数,这是一个有限总体;而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成的总体是一

2、个无限总体,它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命.3.有限总体和无限总体实例2当有限总体包含的个体的总数很大时,可近似地将它看成是无限总体.4.总体分布在2000名大学一年级学生的年龄中,年龄指标值为“15”，“16”，“17”，“18”，“19”，“20”的依次有9，21，132，1207，588，43名,它们在总体中所占比率依次为实例3即学生年龄的取值有一定的分布.一般地,我们所研究的总体,即研究对象的某项数量指标X,其取值在客观上有一定的分布,是一个随机变量.总体分布的定义我们把数量指标取不同数值的比率叫做

3、总体分布.如实例3中,总体就是数集{15,16,17,18,19,20}.总体分布为二、样本1.样本的定义2.简单随机抽样的定义最常用的“简单随机抽样”有如下两个要求：（1）样本具有随机性（2）样本要有独立性即要求总体中每一个个体都有同等机会被选入样本，这便意味着每一个样品与总体有相同的分布.即要求样本中每一样品的取值不影响其他样品的取值，这意味着相互独立.用简单随机抽样方法得到的样本称为简单随机样本，简称样本根据简单随机样本定义得:又若X为离散型随机变量，样本分布是指样本的联合分布解例6-6解例6-7考虑电话

4、交换台1小时内的呼唤次数X，求来自这一总体的简单随机样本x1,x2,…,xn的样本分布。由概率论知识，X服从泊松分布P()，其概率函数为因此简单随机样本x1,x2,…,xn的样本分布为解练习三、小结个体总体有限总体无限总体基本概念:说明1一个总体对应一个随机变量X,我们将不区分总体和相应的随机变量,统称为总体X.说明2在实际中遇到的总体往往是有限总体,它对应一个离散型随机变量;当总体中包含的个体的个数很大时,在理论上可认为它是一个无限总体.样本第三节统计量及其分布一、基本概念二、常见分布三、小结一、基本概念1

5、.统计量的定义是不是实例12.经验分布函数经验分布函数的做法如下:与总体分布函数F(x)相应的统计量称为经验分布函数。实例2则经验分布函数为实例3则经验分布函数为例6-9则经验分布函数为样本为344347351351355说明：对每一固定的x,经验分布函数Fn(x)是样本中事件xix发生的频率。当n固定时，Fn(x)是样本的函数。由伯努利大数定律知，只要n充分大，则Fn(x)依概率收敛于总体分布函数F(x)。当n充分大时，经验分布函数Fn(x)是总体分布函数F(x)的一个良好的近似。3.几个常用统计量(1)样

6、本均值（定义6-2）在分组样本场合，样本均值的近似公式为其中k为组数，xi为第i组的组中值，fi为第i组的频数。例6-10样本均值的性质（1）若称样本中的数据与样本均值的差为偏差，则样本所有偏差之和为0，即证明：样本均值的性质（2）数据观察值与均值的偏差平方和最小，即在形如的函数中，最小，其中c为任意给定的常数。证明：对于样本均值的抽样分布，满足如下定理：定理6-1(2)样本方差与样本标准差（定义6-3）样本方差样本标准差称为偏差平方和例6-11对于样本均值的抽样分布，满足如下定理：定理6-2由定理6-1,显然

7、有下面证证明:由于又因此例1解由契比雪夫不等式例2解P(2)且相互独立,由定理6-2样本k阶原点矩样本k阶中心矩(3)样本矩（定义6-4）注意：样本一阶原点矩就是样本均值。注意：k=2时，称为二阶样本中心矩，记为sn2(4)极大顺序统计量和极小顺序统计量定义6-5定理6-3证明:记x(1)和x(n)的分布函数分别为F1(x)和Fn(x)定理6-3证明:例解二、常见分布（正态总体的抽样分布）统计量的分布称为抽样分布.（三大抽样分布）1.性质1(此性质可以推广到多个随机变量的情形.)性质2,,分位数的值得可以通过查

8、表求对于不同的aan数分布的分位数2c附表4只详列到n=45为止.例解例2)(12,)16(,,,,),(~2122212þýüîíì£-£=å=smssmniinXnPXnXXXNX概率求的样本为来自设总体L例解且它们相互独立,根据独立同分布中心极限定理5-4,(1),,,)1(210021分布都具有因为cX2X2X2L2.根据F分布的定义可知,分布的分位数F例4证明.分位数的一些用