第4章 抽样分布与参数估计

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1、第四章抽样分布与参数估计第一节频率、概率与概率分布第二节抽样分布第三节总体参数估计第一节频率、概率与概率分布一、随机事件与概率（一）随机试验与事件随机现象的特点是：在条件不变的情况下，一系列的试验或观测会得到不同的结果，并且在试验或观测前不能预见何种结果将出现。对随机现象的试验或观测称为随机试验，它必须满足以下的性质：（1）每次试验的可能结果不是唯一的；（2）每次试验之前不能确定何种结果会出现；（3）试验可在相同条件下重复进行。在随机试验中，可能出现也可能不出现的结果，称之为随机事件，简称事件。试验的结果可能是一个简单事件，也可能是一个复杂事件。简单事件就是不可以再分解的事件，又称为基本事件

2、。复杂事件是由简单事件组合而成的事件。基本事件还可称为样本点，设试验有n个基本事件，分别记为(i=1,2,…，n)。集合Ω={ω1,ω2,…,ωn}称为样本空间，Ω中的元素就是样本点。例：投掷一粒均匀的六面体骰子，出现的点数有可能是1、2、3、4、5、6共六种。这六种结果是基本结果，不可以再分解成更简单的结果了，所以Ω={1，2，3，4，5，6}为该试验的样本空间。“出现点数是奇数”这一事件就不是简单事件，它是由基本事件{1}，{3}和{5}组合而成的。我们通常用大写字母A，B，C，…来表示随机事件，例如，设A表示“出现点数是奇数”，则A={1，3，5}；设B表示“出现点数是偶数”，则B={

3、2，4，6}。（二）概率1.概率的定义概率就是指随机事件发生的可能性，或称为机率，是对随机事件发生可能性的度量。进行n次重复试验，随机事件A发生的次数是m次，发生的频率是m/n，当试验的次数n很大时，如果频率在某一数值p附近摆动，而且随着试验次数n的不断增加，频率的摆动幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率，记为：P(A)=p。在古典概型场合,即基本事件发生的概率都一样的场合:例：设一个袋子中装有白球2个，黑球3个。(1)从中随机摸出1只球，问刚好是白球的概率有多大？(2)从中随机摸出2只球，一问2只球都是白球的概率有多大?二问2只球一白一黑的概率有多大?三问2只球都是黑球的概率有多大?解：

4、(1)由于摸出的任何1只球都形成一个基本事件，所以样本点总数为n=5。用A表示摸出的是白球事件，则A由两个基本点组成，即A={白球，白球}，有利场合数m=2。因此，刚好摸出白球的概率为P(A)=m/n=2/5=0.4(2)由于摸出2只球才成一个基本事件，所以样本点总数为故P(A)=P(2只球都是白球)=1/=1/10P(B)=P(2只球一白一黑)=2×3/10=6/10P(C)=P(2只球都是黑球)=3/10NOTE:P(A+B+C)=12.概率的基本性质性质11≥P(A)≥0。性质2P(Ω)=1。性质3若事件A与事件B互不相容，即AB=Ф，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。推论1不可能事

5、件的概率为0，即：P(Ф)=0。推论2P()=1-P(A),表示A的对立事件，即它们二者必有一事件发生但又不能同时发生。例：袋中装有4只黑球和1只白球，每次从袋中随机地摸出1只球，并换入1只黑球。连续进行，问第三次摸到黑球的概率是多少？解:记A为“第三次摸到黑球”，则为“第三次摸到白球”。先计算P()。由于袋中只有1只白球，如果某一次摸到了白球，换入了黑球，则袋中只有黑球了。所以相当于第一、第二次都是摸到黑球，第三次摸到白球。注意这是一种有放回的摸球，样本点总数为5×5×5，有利场合数是4×4×1。故：P()=，所以3.事件的独立性定义对事件A与B，若p(AB)=p(B)p(A)，则称它们是

6、统计独立的，简称相互独立。例：已知袋中有6只红球,4只白球。从袋中有放回地取两次球,每次都取1球。设表示第i次取到红球。那么，因此，，也就是说，B1,B2相互独立。从题目条件看，这一结论是显然的。二、随机变量随机变量X是定义在样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}上的一个函数，这个函数的取值随试验的结果不同而变化。这个函数还要求满足条件：对任意的实数x，X

7、值为x1,x2，…,xn,…，相应的概率为p(x1)，p(x2),…,p(xn),…。用表格统一表示出来是：Xx1x2…xn…Pp(x1)p(x2)…p(xn)…这称为离散型随机变量X的概率分布。性质：(1)0≤p(xi)≤1(i=1,2,…)；(2)定义:离散型随机变量X的期望值为性质：其中X1，X2都是随机变量，α，β是任意常数。定义:离散型随机变量X的方差为方差的平方根σ称为标准差。方差σ2或标准差σ反