线性最优状态调节器

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1、第7章线性最优状态调节器如果所研究的系统为线性，所取的性能指标为状态变量与控制变量的二次型函数，则这种动态系统的最优化问题，称为线性二次型问题。线性二次型最优控制特点：易于实现；具有工程性；线性最优控制的结果可以应用于工作在小信号条件下的非线性系统，其计算和实现非线性控制方法容易；线性最优控制器设计方法可以作为求解非线性最优控制问题的基础；线性最优控制除具有二次型性能指标意义上的最优性外，还具有良好的频响特性。7.1线性二次型问题设线性时变系统的动态方程为（7-1）式中为维状态向量，为维控制向量，为维输出向量；为维数适当的

2、时变矩阵，其各元分段连续且有界，在特殊情况下可以是常阵。假定，且不受约束。若令表示维希望输出向量，则（7-2）称为误差向量。要求确定最优控制，是下列二次型性能指标极小：（7-3）式中为维对称非负定常阵，为维对称非负定时变矩阵，为维对称正定时变矩阵，初始时刻和末端时刻固定。在二次型性能指标（7-3）中，其各项都有明确的物理含义。（1）末值项（7-4）不失一般性，取，表示对末态误差要求的各元等加权，则有此时，末值项表示时刻的跟踪误差，即末态误差向量与希望的零向量之间的距离平方和。当时，表示对末态跟踪误差的各元有不同的要求。若取

3、则式（7-4）可以表示为此时，末值项表示末态跟踪误差向量与希望的零向量之间的距离加权平方和。如果对末态跟踪误差不必限制，则可取。此时性能指标变为积分型。（2）第一过程项（7-5）若取则有于是，式（7-5）可以表示为上式表明，第一过程项表示在系统控制过程中，对动态跟踪误差加权平均和的积分要求，是系统在运动过程中动态跟踪误差的总度量。（3）第二过程项（7-6）若取于是，式（7-6）可以表示为则有上式表明，第二过程项表示在系统控制过程中，对加权后的控制能量消耗的总度量。因此，二次型性能指标（7-3）的物理意义是：是系统在控制过程

4、中的动态误差与能力消耗，以及控制结束时的系统稳态误差综合最优。二次型性能指标有如下几种重要的特殊情形。（1）状态调节器的问题在系统方程（7-1）和误差向量（7-2）中，如果则有从而，性能指标（7-3）演变为（7-7）（7-7）这时，线性二次型问题归结为：当系统受扰偏离原平衡零状态时，要求系统产生一控制向量，使性能指标（7-7）极小，即使得系统状态始终保持在零平衡状态附近。（7-8）（2）输出调节器的问题在误差向量（7-2）中，如果则有从而，性能指标（7-3）演变为（7-8）这时，线性二次型问题归结为：当系统受扰偏离原平衡状

5、态时，要求系统产生一控制向量，使性能指标（7-8）极小，即使得系统输出始终保持在零平衡状态附近。（3）跟踪系统问题如果，式（7-2）成立，性能指标保持式（7-3）的形式不变，则线性二次型问题归结为：当希望输出量作用于系统时，要求系统产生一控制向量，使性能指标（7-3）极小，即使得系统的实际输出始终跟随的变化。7.2状态调节器所谓状态调节器问题，就是要求系统的状态保持在平衡状态附近。7.2.1有限时间状态调节器问题7.1设线性时变系统状态方程为（7-9）式中无约束；矩阵与维数适当，其各元连续且有界。要求确定最优控制，使下列性

6、能指标极小：（7-10）式中权矩阵其各元均连续有界；末端时刻固定且为有限值。（1）最优解的充分必要条件定理7-1对于最优调节器问题7-1，最优控制的充分必要条件（7-11）最优性能指标为（7-12）式中维对称非负矩阵满足黎卡提矩阵微分方程（7-13）其边界条件为而最优轨线，则是下列线性向量微分方程的解：（7-14）（7-15）证明：必要性：证(5-14)表示的u*确为最优，取H函数为：根据最优控制的控制方程：可得：因为：故u*为使哈密顿函数取极小控制。因末态自由，横截条件为：（见P50定理3-1）由正则方程，得：（7-19

7、）设协态方程的解为则状态方程为（7-23）解此方程，可得最优轨线：此外：将（7-23）代入：与（7-19）式比较可得：该方程称为黎卡提（Riccati)矩阵微分方程由和可知黎卡提微分方程的边界条件为：因此，得最优控制的必要条件为：必要性得证。充分性：若上式u*中P(t)为黎卡提方程满足边界条件的解，我们能证明它满足哈密顿-雅可比方程，则根据连续系统动态规划，充分性成立。令哈密顿-雅可比方程为由于u(t)无约束，令解得：将该式与对照，可使从而可得代入哈密顿-雅可比方程，得注意到可以得到若P(t)满足黎卡提方程则用描述的控制u

8、*(t)对于任何x(t)均满足哈密顿-雅可比方程而如此表述的故当上述黎卡提方程的边界条件为：对照性能指标的终端项则有充分性得证。由取可得（2）黎卡提方程解的若干性质由定理7-1可知，问题7-1的最优控制是状态的线性反馈形式(7-16)式中(7-17)为反馈增益矩阵。由于式（7-17）中矩阵和是已知的，因