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1、二次函数综合题之解题策暁摘要:二次函数综合题难度大、综合性强、内涵丰富、涉及的知识面广,是初中数学中最重要、最核心、纵向和横向联系规模最人的内容Z—•要解决好此类题目需要有扎实的基础知识,较强的分析、演算、理解能力,因此是近年來各地中考命题的重点和热点,引起人们的广泛关注.它主要以压轴题的形式出现,本文列举几例,探究二次函数综合题的解题策略.关键词:二次函数综合题解题策略二次函数综合题难度大、综合性强、内涵丰富、涉及的知识面广,是初中数学中最重要、最核心、纵向和横向联系规模最大的内容之一•要解决好此类题目需要冇扎实的基础知识,较强的分析、演
2、算、理解能力,因此是近年来各地中考命题的重点和热点,引起人们的关注•它主要以压轴题的形式出现•那么如何正确求解呢?下面从三个方面阐述其解题策略.一、利用数形结合思想求解策略利用二次函数图像求极值问题,是近几年各地数学中考试卷中很常见的题型,此类题综合性比较强,涉及的知识较广,可以结合几何图形来解题,实际上二次函数图像木身就是一个图形即抛物线,图像上点的坐标就表示相关线段的长度,点点相连成了几何图形,实现从“数或式”到“形”的转化,这一转化为解题创造了有利条件,而能否熟练地解答,则取决于是否把二者有机结合起来,在解题中充分运用函数与方程、数形
3、结合、分类讨论等思想方法•教师要适当引导学生,使他们消除学习定势对解题思路的阻碍,培养他们利用数形结合解题的技巧和能力.例1:已知函数y二x+bx+2的图像经过点(3,2).(1)求这个函数的关系式;(2)画出它的图像;(3)根据图像指出:当x取何值时,y22?分析:(1)利用待定系数法,可以求出b的值,从而获得函数表达式;(2)根据函数关系式画出函数图像;(3)借助函数图像,由“形”想“数”,要“确定y二2时,x的取值范围“就是要求位于“直线y二2上方”图像的自变量取值范围.解:(1)根据题意,得2二9+3b+2,解得b=-3.所以函数关
4、系式为y二x_3x+2.(2)易求该抛物线与x轴的两个交点坐标为(1,0),(2,0),与y轴的交点坐标为(0,2),对称轴为x二.函数y=x-3x+2的图像如图1所示.图1(3)根据图像可得,当y二2时,对应的x值为0和3•因此,当xWO或xM3时,y$2.二、利用方程思想求解策略二次函数图像与x轴分别冇两个交点、一个交点和无交点时,该函数所对应的一元二次方程根的判别式分别是:A>0,△二0和△〈().要判定厶的值的情况,往往要将函数y二ax+bx+c(aHO)右边配方成完全平方式去确定交点个数.由此可见两者关系非常“密切”•在思路上要分
5、清:方程与△值,函数与x轴交点,△值与x轴交点之间的关系•而当二次函数y二ax+bx+c(HO)中y二0时,二次函数就转化为一元二次方程ax+bx+c二0,根据一元二次方程根与系数关系可以求出二次函数与x轴两个交点间的距离.例2:如图2,一元二次方程x-3x+2二0的两根x、x(x6、.分析:(1)求出方程的两个根,就相当于知道了B,C两点的坐标,进而由A、B、C三点的坐标,利用待定系数法,很容易求出二次函数的解析式;(2)要求交点Q的塑标,只要将该抛物线的“对称轴方程”与“直线AC的解析式”联立得方程组,解这个方程组就可得到;(3)耍求“MQ+MA”的最小值时,只需作点A关于x轴的对称点即可,用对称性及“两点Z间线段最短”的几何知识加以解决.图2解:(1)解方程x-3x+2=0,得x二-3,x二1.所以抛物线与x轴的两个交点坐标为C(-3,0),B(1,0).将A(3,6),B(1,0),C(-3,0)代入抛物线的解析
7、式,求得a二,b二1,c二-•所以抛物线解析式为y二x+x-・(2)由y二x+x-y二(x+1)-2,得抛物线顶点卩的坐标为(T,-2),对称轴为直线X二-1・设直线AC的函数关系式为y二3k+b,将A(3,6)、C(-3,0)代入,求得k=l,b=3,所以直线AC的函数关系式为y二x+3.而Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点其方程为x=l,两方程联立方程组,解得x二T,y二2,所以点Q坐标为(T,2)・(3)作A点关于x轴的对称点A,(3,-6),连接A'Q,A'Q与x轴交点M即为所求的点.设直线A'Q的函数关系式为y二kx+b.把A'
8、(3,-6)、Q(-1,2)代入求解,得b二0,k-2・所以直线A'Q的函数关系式为y-2x・令x=0,则y二0,所以点M的坐标为(0,0)・评析:求两个函数图像的交点问题,其实