二次函数综合题之解题策略

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1、二次函数综合题之解题策暁摘要：二次函数综合题难度大、综合性强、内涵丰富、涉及的知识面广，是初中数学中最重要、最核心、纵向和横向联系规模最人的内容Z—•要解决好此类题目需要有扎实的基础知识，较强的分析、演算、理解能力，因此是近年來各地中考命题的重点和热点，引起人们的广泛关注.它主要以压轴题的形式出现，本文列举几例，探究二次函数综合题的解题策略.关键词：二次函数综合题解题策略二次函数综合题难度大、综合性强、内涵丰富、涉及的知识面广，是初中数学中最重要、最核心、纵向和横向联系规模最大的内容之一•要解决好此类题目需要冇扎实的基础知识，较强的分析、演

2、算、理解能力，因此是近年来各地中考命题的重点和热点，引起人们的关注•它主要以压轴题的形式出现•那么如何正确求解呢？下面从三个方面阐述其解题策略.一、利用数形结合思想求解策略利用二次函数图像求极值问题，是近几年各地数学中考试卷中很常见的题型，此类题综合性比较强，涉及的知识较广，可以结合几何图形来解题，实际上二次函数图像木身就是一个图形即抛物线，图像上点的坐标就表示相关线段的长度，点点相连成了几何图形，实现从“数或式”到“形”的转化，这一转化为解题创造了有利条件，而能否熟练地解答，则取决于是否把二者有机结合起来，在解题中充分运用函数与方程、数形

3、结合、分类讨论等思想方法•教师要适当引导学生，使他们消除学习定势对解题思路的阻碍，培养他们利用数形结合解题的技巧和能力.例1：已知函数y二x+bx+2的图像经过点（3,2）.（1）求这个函数的关系式；（2）画出它的图像；（3）根据图像指出:当x取何值时,y22?分析：（1）利用待定系数法，可以求出b的值，从而获得函数表达式;（2）根据函数关系式画出函数图像；（3）借助函数图像，由“形”想“数”,要“确定y二2时，x的取值范围“就是要求位于“直线y二2上方”图像的自变量取值范围.解:（1）根据题意，得2二9+3b+2,解得b=-3.所以函数关

4、系式为y二x_3x+2.（2）易求该抛物线与x轴的两个交点坐标为（1,0）,（2,0）,与y轴的交点坐标为（0,2）,对称轴为x二.函数y=x-3x+2的图像如图1所示.图1（3）根据图像可得，当y二2时，对应的x值为0和3•因此，当xWO或xM3时，y$2.二、利用方程思想求解策略二次函数图像与x轴分别冇两个交点、一个交点和无交点时，该函数所对应的一元二次方程根的判别式分别是：A>0,△二0和△〈（）.要判定厶的值的情况，往往要将函数y二ax+bx+c（aHO）右边配方成完全平方式去确定交点个数.由此可见两者关系非常“密切”•在思路上要分

5、清：方程与△值，函数与x轴交点，△值与x轴交点之间的关系•而当二次函数y二ax+bx+c(HO)中y二0时，二次函数就转化为一元二次方程ax+bx+c二0,根据一元二次方程根与系数关系可以求出二次函数与x轴两个交点间的距离.例2：如图2,一元二次方程x-3x+2二0的两根x、x(x

6、.分析：(1)求出方程的两个根，就相当于知道了B,C两点的坐标，进而由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法，很容易求出二次函数的解析式；(2)要求交点Q的塑标，只要将该抛物线的“对称轴方程”与“直线AC的解析式”联立得方程组，解这个方程组就可得到；(3)耍求“MQ+MA”的最小值时，只需作点A关于x轴的对称点即可，用对称性及“两点Z间线段最短”的几何知识加以解决.图2解：(1)解方程x-3x+2=0,得x二-3,x二1.所以抛物线与x轴的两个交点坐标为C(-3,0),B(1,0).将A(3,6),B(1,0),C(-3,0)代入抛物线的解析

7、式，求得a二,b二1,c二-•所以抛物线解析式为y二x+x-・(2)由y二x+x-y二(x+1)-2,得抛物线顶点卩的坐标为(T,-2),对称轴为直线X二-1・设直线AC的函数关系式为y二3k+b,将A(3,6)、C(-3,0)代入，求得k=l,b=3,所以直线AC的函数关系式为y二x+3.而Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点其方程为x=l,两方程联立方程组，解得x二T,y二2,所以点Q坐标为(T,2)・(3)作A点关于x轴的对称点A，(3,-6),连接A'Q,A'Q与x轴交点M即为所求的点.设直线A'Q的函数关系式为y二kx+b.把A'

8、(3,-6)、Q(-1,2)代入求解，得b二0,k-2・所以直线A'Q的函数关系式为y-2x・令x=0,则y二0,所以点M的坐标为(0,0)・评析：求两个函数图像的交点问题，其实