例谈二次函数综合题的解题策略.doc

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1、例谈二次函数综合题的解题策略□孙朝仁朱松林二次函数既是中考的重点内容,也是热点问题.而二次函数综合题在各级各类考试中都属于难度较大的问题，要求同学们不但对于二次函数本身的内容掌握要牢固，而且还要善于将二次函数和其他的有关知识（方程、不等式以及几何等知识）“攀亲”，搞好关系，这样问题的综合层次和要求都比较高．解决这类问题的关键就是要“沉得住气”，认真仔细地将题目中所提供的信息进行加工梳理，有条不紊地进行“抽丝剥茧”，最终解决问题．下面略举几例，谈谈二次函数综合题的常见的解题策略．___-242yxO32

2、一、得意知“形”，由“形”想“数”例1已知函数y＝x2＋bx＋2的图象经过点（3，2）．（1）求这个函数的关系式；（2）画出它的图象；（3）根据图象指出：当x取何值时，y≥2？分析首先，利用待定系数法，可以求出b的值，从而获得函数表达式；其次，根据函数关系式不难知“形”——图1用描特殊点法画出函数图象；第三，借助函数图象，由“形”想“数”，要“确定y≥2时，x的取值范围”就是要求位于“直线y=2上方”图象的自变量取值范围．解（1）根据题意，得2＝9＋3b＋2，解得b＝－3．∴函数关系式为y＝x2－3x

3、＋2．（2）易求该抛物线与x轴的两个交点坐标为（1，0）、（2，0），与y轴的交点坐标为（0，2），对称轴为．函数y＝x2－3x＋2的图象如图1所示．（3）根据图象可得，当y＝2时，对应的x的值为0和3．因此，当x≤0或x≥3时，y≥2．评析充分利用函数图象的直观性，分析解决问题是体现“数形结合”思想一个重要方面．本题还可以直接指出“当x取何值时，y≤2？”以及根据图象写出“不等式x2－3x＋2≤0的解集”，这两个问题，请同学们自行写出.二、函数与方程“攀亲”，由方程求函数例2如图2，一元二次方程的两

4、根，（＜）是抛物线与轴的两个交点，的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．(1)求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；(3)在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．xyA（3，6）QCOBP分析（1）求出方程的两个根，就相当于知道了B，C两点的坐标，进而由A，B，C三点的坐标，利用待定系数法，很让容易求出二次函数的解析式；（2）要求交点Q的坐标，只要函数与方程“攀亲”，将该抛物线的“对称轴方程”与“直线AC的解析式”联立得方

5、程组，解这个方程组就可得到；（3）要求“MQ+MA”的最小值，只需作点A关于x轴的对称点即可，用对称性及“两点之间线段最短”的几何知识加以解决.解(1)解方程，得=-3，=1.抛物线与x轴的两个交点坐标为：C（-3，0），B（1，0）.图2将A（3，6），B（1，0），C（-3，0）代入抛物线的解析式，得解这个方程组，得抛物线解析式为.(2)由，得抛物线顶点P的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1.设直线AC的函数关系式为y=kx+b,将A（3，6），C（-3，0）代入,得解这个方程组，得直线A

6、C的函数关系式为y=x+3.由于Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点，故解方程组得点Q坐标为（-1，2）.(3)作A点关于x轴的对称点，连接，与轴交点即为所求的点.设直线的函数关系式为y=kx+b.∴解这个方程组，得直线的函数关系式为y=-2x.令x=0，则y=0.点M的坐标为（0，0）.评析求两个函数图象的交点问题，其实就是求两个函数关系式联立的方程组的解的问题.点与函数图象的关系是，若点的坐标满足函数关系式,则点在函数图象上,反之也成立.本题中的第（3）问改为“若在y轴上有一动点N，当NQ+NA取

7、得最小值时，求N点的坐标”，请同学们做做看.三、函数与几何“联姻”，由图形性质建立函数关系式例3如图3，在锐角中，，于图3点，且，点为边上的任意一点，过点作，交于点．设的高为，以为折线将翻折，所得的与梯形重叠部分的面积记为（点关于的对称点落在所在的直线上）．（1）分别求出当与时，与的函数关系式；（2）当取何值时，的值最大？最大值是多少？分析本题所求的“y与x之间的函数关系式”分两种情况：一是点A关于DE的对称点在内，一是点A关于DE的对称点在外.对于第一种情况，其重叠部分就是的面积（也即的面积），此时

8、只要依据相似三角形的性质把高AF，底边DE用含x的关系式表示出来即可；而第二种情况，其重叠部分是一个梯形，求梯形EDPQ的面积即可.最后，要求出重叠部分面积的最大值，同样也需要分两种情况，把每种情况下的最大面积都求出来，然后进行比较.图4F解（1）①当时，由折叠得到的落在内部，如图4（1），重叠部分为.,....即.又,∴.②当时，由折叠得到的有一部分落在外部，如图4(2)，重叠部分为梯形.,∴.又,...=.（2）当时，的最大值；当时，由可知，当时，的